Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-1-\sqrt{-5x}}{4x^2-4}$ có bao nhiêu tiệm cận?

Bài toán gốc

Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-1-\sqrt{-5x}}{4x^2-4}$ có bao nhiêu tiệm cận?

A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm số lượng tiệm cận (cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang) của hàm số phân thức chứa căn thức. Phương pháp giải gồm 3 bước chính: 1. Xác định tập xác định (TXĐ), lưu ý điều kiện của căn thức. 2. Tìm Tiệm cận đứng (TCĐ) bằng cách xét giới hạn tại các điểm làm mẫu số bằng 0 và là biên của TXĐ. 3. Tìm Tiệm cận ngang (TCN) bằng cách xét giới hạn khi $x o ext{vô cực}$ (chỉ xét phía vô cực thuộc TXĐ). Hàm số ban đầu có TXĐ $D = (-\infty, -1) \cup (-1, 0]$, có 1 TCĐ ($x=-1$) và 1 TCN ($y=0$), tổng cộng 2 tiệm cận.

Bài toán tương tự

Đồ thị hàm số $y=\dfrac{2+\sqrt{3x}}{x^2-25}$ có bao nhiêu tiệm cận? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Đáp án đúng: C. Giải thích: 1. Tập xác định (TXĐ): $3x \ge 0 \implies x \ge 0$. Đồng thời $x^2-25 \ne 0 \implies x \ne 5, x \ne -5$. Vậy TXĐ là $D = [0, 5) \cup (5, +\infty)$. 2. Tiệm cận đứng (TCĐ): Chỉ xét $x=5$ (vì $x=-5$ không thuộc TXĐ). Ta có $\lim_{x \to 5} y = \dfrac{2+\sqrt{15}}{0} = \infty$. Vậy $x=5$ là 1 TCĐ. 3. Tiệm cận ngang (TCN): Chỉ xét $x \to +\infty$ (vì TXĐ chỉ kéo dài về phía dương vô cực). Ta có $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2+\sqrt{3x}}{x^2-25} = 0$ (Do bậc tử là $1/2$ nhỏ hơn bậc mẫu là $2$). Vậy $y=0$ là 1 TCN. Tổng cộng có $1 \text{ TCĐ} + 1 \text{ TCN} = 2$ tiệm cận.