Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x^2+5x+5}{x-3}$ là đường thẳng có phương trình $y=ax+b$. Tính $ab$.

Bài toán gốc

Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x^2+5x+5}{x-3}$ là đường thẳng có phương trình $y=ax+b$. Tính $ab$.

A. $44$.

B. $41$.

C. $45$.

D. $42$.

Lời giải: Công thức tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{a}_{1}}{{x}^{2}}+{{b}_{1}}x+{{c}_{1}}}{{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}}$ là $y=\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}x-\dfrac{{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}}{a_{2}^{2}}$.
Từ đó ta tính được: $y=3x+14$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm phương trình tiệm cận xiên (TCX) của đồ thị hàm số hữu tỉ $y=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ khi bậc của tử số (P(x)) lớn hơn bậc của mẫu số (Q(x)) đúng một đơn vị. Phương pháp giải là sử dụng phép chia đa thức để viết lại hàm số dưới dạng $y = ax+b + \dfrac{R(x)}{Q(x)}$, trong đó $ax+b$ chính là phương trình đường tiệm cận xiên. Hoặc sử dụng công thức giới hạn: $a = \lim_{x\to\infty} \dfrac{y}{x}$ và $b = \lim_{x\to\infty} (y – ax)$.

Bài toán tương tự

Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x^2-3x+1}{x+1}$ là đường thẳng có phương trình $y=ax+b$. Tính giá trị của $a+b$.

A. 7.

B. -3.

C. 3.

D. -7.

Đáp án đúng: B.

Lời giải ngắn gọn: Thực hiện phép chia đa thức ta có: $2x^2-3x+1 = (2x-5)(x+1) + 6$. Khi đó, $y = 2x – 5 + \dfrac{6}{x+1}$. Tiệm cận xiên là $y=2x-5$. Suy ra $a=2$ và $b=-5$. Giá trị cần tìm là $a+b = 2 + (-5) = -3$.