Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{-2x^4+5x^3-x^2-4x+2}{x^3-2x^2-3x-2}$ là đường thẳng có phương trình $y=(m-1)x-n+4$

Bài toán gốc

Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{-2x^4+5x^3-x^2-4x+2}{x^3-2x^2-3x-2}$ là đường thẳng có phương trình $y=(m-1)x-n+4$. Tính $m+n$.

A. $0$.

B. $4$.

C. $1$.

D. $2$.

Lời giải: Công thức tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{a}_{1}}{{x}^{n}}+{{b}_{1}}{{x}^{n-1}}+…}{{{a}_{2}}{{x}^{n-1}}+{{b}_{2}}{{x}^{n-2}}+…}$ là $y=\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}x-\dfrac{{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}}{a_{2}^{2}}$.
Từ đó ta tính được: $y=-2x+1$.
Suy ra $\left\{\begin{array}{l} m-1=-2 \\ -n+4=1 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m=-1 \\ n=3 \end{array}\right.$.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán tìm tiệm cận xiên của hàm phân thức hữu tỉ $y = P(x)/Q(x)$ trong đó bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số đúng 1 đơn vị (deg(P) = deg(Q) + 1). Phương pháp giải là thực hiện phép chia đa thức để biểu diễn hàm số dưới dạng $y = ax + b + R(x)/Q(x)$, trong đó $\lim_{x\to\pm\infty} R(x)/Q(x) = 0$. Đường thẳng $y=ax+b$ là tiệm cận xiên. Sau khi tìm được $a$ và $b$, ta so sánh với phương trình tiệm cận xiên đã cho để tìm các tham số.

Bài toán tương tự

Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x^4-4x^3+x^2+x-5}{x^3+x^2-2x+1}$ là đường thẳng có phương trình $y=(k+5)x – 2p+3$. Tính $k+p$. A. 1. B. 3. C. 5. D. -3. Đáp án đúng: B. Lời giải ngắn gọn: Thực hiện phép chia đa thức: $\dfrac{3x^4-4x^3+x^2+x-5}{x^3+x^2-2x+1} = 3x – 7 + \dfrac{14x^2 – 16x + 2}{x^3+x^2-2x+1}$. Tiệm cận xiên là $y=3x-7$. So sánh với $y=(k+5)x – 2p+3$, ta có hệ: $k+5=3 \Rightarrow k=-2$; và $-2p+3=-7 \Rightarrow -2p=-10 \Rightarrow p=5$. Vậy $k+p = -2+5=3$.