Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x^2-x+5}{2x-4m-1}$ là đường thẳng qua điểm $M\left(-3;0\right)$

Bài toán gốc

Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x^2-x+5}{2x-4m-1}$ là đường thẳng qua điểm $M\left(-3;0\right)$. Tính $m$.

A. $\dfrac{3}{2}$.

B. $1$.

C. $\dfrac{3}{4}$.

D. $\dfrac{1}{2}$.

Lời giải: Công thức tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{a}_{1}}{{x}^{2}}+{{b}_{1}}x+{{c}_{1}}}{{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}}$ là $y=\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}x-\dfrac{{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}}{a_{2}^{2}}$.
Tiệm cận xiên qua $M\left(-3;0\right)$ nên $0=\dfrac{a_1}{a_2}.(-3)+\dfrac{{{b}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{c}_{1}}}{a_{2}^{2}}$
$\Leftrightarrow 0=\dfrac{3}{2}+\dfrac{-2+(-4m-1)}{4}\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{4}$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm tham số dựa trên điều kiện của tiệm cận xiên (TCX) của đồ thị hàm số hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất ($y=\frac{Ax^2+Bx+C}{Dx+E}$). Phương pháp giải là xác định phương trình TCX $y=ax+b$. Trong đó, $a = A/D$ và $b = \frac{B D – A E}{D^2}$. Sau khi tìm được phương trình TCX theo tham số $m$, ta thay tọa độ điểm đã cho vào phương trình để giải tìm $m$.

Bài toán tương tự

Cho hàm số $y=\dfrac{x^2+3x-1}{3x-2m+1}$. Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này đi qua điểm $N\left(1;2\right)$. Tính giá trị của $m$.
A. $m = 1/2$.
B. $m = 7/2$.
C. $m = 4$.
D. $m = -1/2$.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Hàm số có $A=1, B=3, D=3, E=-2m+1$. Phương trình tiệm cận xiên (TCX) là $y=ax+b$, với $a = \frac{1}{3}$. Hệ số $b = \frac{B D – A E}{D^2} = \frac{3\cdot 3 – 1\cdot (-2m+1)}{3^2} = \frac{9 + 2m – 1}{9} = \frac{2m+8}{9}$. TCX là $y = \frac{1}{3}x + \frac{2m+8}{9}$. Vì TCX đi qua $N(1;2)$, ta thay tọa độ vào: $2 = \frac{1}{3}(1) + \frac{2m+8}{9}$. Quy đồng mẫu số 9: $18 = 3 + 2m + 8$. $18 = 11 + 2m$. $2m = 7$, suy ra $m = \frac{7}{2}$.