Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x^4-3x^3-x^2+5x+3}{-3x^3+3x^2+5x-1}$ là đường thẳng có phương trình

Bài toán gốc

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x^4-3x^3-x^2+5x+3}{-3x^3+3x^2+5x-1}$ là đường thẳng có phương trình

A. $y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{3}$.

B. $y=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{9}$.

C. $y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}$.

D. $y=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{4}{3}$.

Lời giải: Công thức tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{a}_{1}}{{x}^{n}}+{{b}_{1}}{{x}^{n-1}}+…}{{{a}_{2}}{{x}^{n-1}}+{{b}_{2}}{{x}^{n-2}}+…}$ là $y=\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}x-\dfrac{{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}}{a_{2}^{2}}$.
Từ đó ta tính được: $y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{3}$.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là bài toán tìm tiệm cận xiên (tiệm cận chéo) của đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ $y=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ trong trường hợp bậc của tử số $P(x)$ lớn hơn bậc của mẫu số $Q(x)$ đúng 1 đơn vị (bậc 4 chia bậc 3). Phương pháp giải là sử dụng công thức tính nhanh cho tiệm cận xiên $y=ax+b$ hoặc thực hiện phép chia đa thức. Công thức tính nhanh (dựa trên hệ số của hai số hạng bậc cao nhất của tử và mẫu) là $y=\dfrac{a_1}{a_2}x + b$, trong đó $b = -\dfrac{a_1b_2 – a_2b_1}{a_2^2}$ (với $P(x)=a_1x^n+b_1x^{n-1}+…$ và $Q(x)=a_2x^{n-1}+b_2x^{n-2}+…$).

Bài toán tương tự

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x^4+5x^3-x^2+1}{x^3-2x^2+4x+5}$ là đường thẳng có phương trình:

A. $y=2x+9$.

B. $y=2x-3$.

C. $y=2x+5$.

D. $y=2x-9$.

Lời giải: Hàm số có dạng $y=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ với $\deg(P)=4$ và $\deg(Q)=3$. Ta xác định các hệ số: $a_1=2$, $b_1=5$; $a_2=1$, $b_2=-2$.
Hệ số góc $a = \dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{2}{1} = 2$.
Hệ số tự do $b = -\dfrac{a_1b_2 – a_2b_1}{a_2^2} = -\dfrac{(2)(-2) – (1)(5)}{(1)^2} = -\dfrac{-4 – 5}{1} = 9$.
Vậy tiệm cận xiên là $y=2x+9$.

Đáp án đúng: A.