Đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{2x+2}}{x^2-2x-3}$ có bao nhiêu tiệm cận?

Bài toán gốc

Đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{2x+2}}{x^2-2x-3}$ có bao nhiêu tiệm cận?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm số lượng tiệm cận (tiệm cận ngang và tiệm cận đứng) của hàm số chứa căn thức. Phương pháp giải gồm 3 bước: 1. Tìm tập xác định (Đảm bảo biểu thức dưới căn không âm và mẫu số khác 0). 2. Tìm Tiệm cận ngang (TCN) bằng cách tính giới hạn khi x tiến tới vô cực (chỉ xét phía được phép bởi tập xác định). 3. Tìm Tiệm cận đứng (TCĐ) bằng cách kiểm tra giới hạn tại các nghiệm của mẫu số hoặc tại các điểm biên của tập xác định (nếu giới hạn là vô cực). Bài toán gốc có 3 tiệm cận (y=0, x=3, x=-1).

Bài toán tương tự

Đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x-2}}{x^2-5x+6}$ có bao nhiêu tiệm cận? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Đáp án đúng: B. Lời giải ngắn gọn: 1. Tập xác định (TXĐ): $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$. Mẫu số $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3) \ne 0 \implies x \ne 2, x \ne 3$. Vậy TXĐ là $D = (2, 3) \cup (3, +\infty)$. 2. Tiệm cận ngang (TCN): $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x-2}}{x^2-5x+6} = 0$ (Do bậc tử (0.5) nhỏ hơn bậc mẫu (2)). Vậy TCN là $y=0$. (1 TCN). 3. Tiệm cận đứng (TCĐ): Ta kiểm tra $x=3$ và $x=2$. * Tại $x=3$ (nghiệm của mẫu): $\lim_{x \to 3^+} y = +\infty$. Vậy TCĐ là $x=3$. (1 TCĐ). * Tại $x=2$ (điểm biên): Ta chỉ xét $\lim_{x \to 2^+} y = \lim_{x \to 2^+} \dfrac{\sqrt{x-2}}{(x-2)(x-3)} = \lim_{x \to 2^+} \dfrac{1}{\sqrt{x-2}(x-3)}$. Khi $x \to 2^+$, tử $\to 1$, mẫu $\to 0^+ \cdot (-1) = 0^-$. Giới hạn là $-\infty$. Vậy TCĐ là $x=2$. (1 TCĐ). Tổng số tiệm cận là 3. (Lưu ý: Nếu không gộp $x=2$ và $x=3$ là TCĐ, ta phải kiểm tra lại phép rút gọn. Hàm số đã cho được viết lại là $y=\dfrac{1}{\sqrt{x-2}(x-3)}$ trên $D$. Chỉ có $x=3$ và $x=2$ là các điểm mà giới hạn tiến tới vô cực. Số tiệm cận là 3: $y=0, x=3, x=2$.

*Correction/Self-Check on the Similar Problem:* The new function $y=\dfrac{\sqrt{x-2}}{(x-2)(x-3)}$. At $x=2$: $\lim_{x \to 2^+} y = -\infty$. (TCĐ $x=2$). At $x=3$: $\lim_{x \to 3^+} y = +\infty$. (TCĐ $x=3$). TCN $y=0$. Total 3 TCs. *Wait, let me make the similar problem simpler to ensure there are only 2 TCs for variety.* Let’s change the denominator so only one root is included in the domain. Đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x^2-9}$. TXĐ: $x \ge 1, x \ne \pm 3$. $D=[1, 3) \cup (3, +\infty)$. TCN: $y=0$. TCĐ: $x=3$. $x=-3$ không thuộc TXĐ. $x=1$ (điểm biên) $\lim_{x \to 1^+} y = 0 / (-8) = 0$ (Không phải TCĐ). Total 2 TC. *This is better for variety.*

**Revised Bài Toán Tương Tự:** Đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x^2-9}$ có bao nhiêu tiệm cận? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Đáp án đúng: B. Lời giải ngắn gọn: 1. Tập xác định (TXĐ): $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Mẫu số $x^2-9 = 0 \implies x = \pm 3$. Vậy TXĐ là $D = [1, 3) \cup (3, +\infty)$. 2. Tiệm cận ngang (TCN): $\lim_{x \to +\infty} y = 0$. TCN là $y=0$. (1 TCN). 3. Tiệm cận đứng (TCĐ): Ta kiểm tra $x=3$ và $x=1$. * Tại $x=3$ (nghiệm của mẫu): $\lim_{x \to 3^+} y = +\infty$. Vậy TCĐ là $x=3$. (1 TCĐ). * Tại $x=1$ (điểm biên): $\lim_{x \to 1^+} y = \dfrac{\sqrt{1-1}}{1^2-9} = 0$. Không có TCĐ tại $x=1$. Tổng số tiệm cận là 2: $y=0$ và $x=3$.