Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất

Đề bài:   Cho 3 số dương $a,b,c$ thỏa $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:        $P=\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ac}{b^2a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}$ Lời giải GiảiĐặt: $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}$, ta có: $xyz=1$ và $P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}$Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta chứng minh: $P \geq \frac{1}{2}(x+y+z)\geq \frac{3}{2}$Thật vậy :  $\frac{x^2}{y+z}+\frac{ (z+y) }{4}+ \frac{y^2}{x+z}+\frac{ (x+z) }{4}+\frac{z^2}{x+y}+\frac{ (x+y) }{4}\geq x+y+z$. Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow (x+y)^{2}= 4z^{2} và  (x+z)^{2}= 4y^{2},  (z+y)^{2}= […]

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:        $y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$ Lời giải Điều kiện $2\leq x\leq 4$Sử dụng bất đẳng thức bunhiacôpski ta co:   $y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\leq \sqrt{(1+1)(x-2+4-x)}=2$Suy ra $\max  y=2$, đạt được khi  :   $\sqrt{x-2}=\sqrt{4-x}\Leftrightarrow x=3$.Mặt khác:   $y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\Rightarrow y^2=x-2+4-x+2\sqrt{(x-2)(4-x)}\geq 2$  Lại có: $y\geq 0$ $\Rightarrow y\geq \sqrt{2}$ suy ra $\min  […]

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của tổng $S=3x+4y$, trong đó $(x, y)$ là nghiệm của bất phương trình $\log_{x^2+y^2}x 1$, trong hai trường hợp:a) $0 Lời giải Điều kiện: $x>0$ a) Từ $(1)$ suy ra $x^2+y^2\leq x\Leftrightarrow (x-\frac{1}{2})^2+y^2\leq \frac{1}{4} (3)$Đặt $x-\frac{1}{2}=r.\cos t, y=r.\sin t      (r>0)$ thì $(3) \Leftrightarrow  […]

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{1+\sin x}-3$ Lời giải $\forall x$ ta có $-1\leq \sin x\leq 1\Leftrightarrow 0\leq 1+\sin x\leq2 $$\Leftrightarrow 0\leq \sqrt{1+\sin x}\leq\sqrt{2} -3\leq\sqrt{1+\sin x}-3 \leq\sqrt{2}-3\Leftrightarrow -3\leq y\leq \sqrt{2}-3$Vậy giá trị lớn nhất của $y$ là $\sqrt{2}-3$, đạt được khi:   $\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\pi(k\in Z)$Giá trị nhỏ […]

Đề bài: Tìm GTLN của:a)$y=x(a-2x)^{2}, 0 \leq  x \leq  \frac{a}{2} $                              b) $y=\ sin^{2}x\cos x $ Lời giải Dùng bất đẳng thức cosiThêm lời giải chi tiết

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:   $f(x)=\frac{2x^2+5x+4}{x+2}$ trên đoạn $[0;1]$. Lời giải Viết lại hàm số dưới dạng:   $f(x)=2x+1+\frac{2}{x+2}$. Đạo hàm:   $f'(x)=2-\frac{2}{(x+2)^2}, f'(x)=0 \Leftrightarrow (x+2)^2=1$ vô nghiệm trên đoạn $[0;1]$. Ta có: $f(0)=2; f(1)=\frac{11}{3}$. Vậy, ta nhận được : -$\max f(x)=\max (2;\frac{11}{3})=\frac{11}{3}$ đạt được khi $x=1$-$\min f(x)=\min (2,\frac{11}{3})=2$ đạt […]

Đề bài: Cho hàm số : $y = \frac{{x^2\cos \alpha  – 2x + \cos\alpha }}{{x^2 – 2x\cos\alpha  + 1}},\alpha  \in (0,\pi )$Tìm miền giá trị của hàm số $y$ Lời giải                                 GiảiTa có: $y^2 – 1 = (\frac{{{x^2}c{\rm{os}}\alpha  – 2{\rm{x}} […]

Đề bài: Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$, và $(D)$ là đường thẳng có phương trình $y = ax + b$.1) $a, b$ phải thỏa mãn điều kiện gì để đường thẳng $(D)$ tiếp xúc với $(C)$?2) Giả sử điều kiện trên được nghiệm đúng. Khi đó $(D)$ cắt $Ox$ và […]

Đề bài: Trên parabol $y = {x^2}$, lấy hai điểm $A( – 1, 1), B(3 , 9)$ và  một điểm $M$ thuộc cung  . Xác định vị trí của $M$ sao cho tam giác $ABM$ có diện tích lớn nhất. Lời giải Tam giác $AMB$ có cạnh $AB$ cố định $ \Rightarrow $ diện tích […]

Đề bài:  Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2 \leq 1$Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=xy+yz+2zx$ Lời giải Với $\forall a \neq 0$ ta có $Q=ay.\frac{x+y}{a}+2zx \leq \frac{a^2y^2+(\frac{x+z}{a})^2}{2}+x^2+z^2$$\Rightarrow Q \leq \frac{a^2y^2+\frac{2(x^2+y^2)}{a^2} }{2}+x^2+z^2=\frac{a^2}{2}y+(1+\frac{1}{a^2})(x^2+z^2)       (1)$Ta chọn $a \neq 0$ sao cho $\frac{a^2}{2}=1+\frac{1}{a^2} \Leftrightarrow  a^4-2a^2-2=0 \Leftrightarrow  a^2=1+\sqrt{3}$Khi đó $(1)$ trở thành $Q \leq […]