Đề: Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$, và $(D)$ là đường thẳng có phương trình $y = ax + b$.1) $a, b$ phải thỏa mãn điều kiện gì để đường thẳng $(D)$ tiếp xúc với $(C)$?2) Giả sử điều kiện trên được nghiệm đúng. Khi đó $(D)$ cắt $Ox$ và $Oy$ tại $M$ và $N$.a) Chứng tỏ rằng tam giác $OMN$ có diện tích không đổi.b) Chứng tỏ rằng điểm giữa của đoạn $MN$ là tiếp điểm của $(D)$ với $(C)$.c) Khi nào thì khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $(D)$ là lớn nhất

Đề bài: Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$, và $(D)$ là đường thẳng có phương trình $y = ax + b$.1) $a, b$ phải thỏa mãn điều kiện gì để đường thẳng $(D)$ tiếp xúc với $(C)$?2) Giả sử điều kiện trên được nghiệm đúng. Khi đó $(D)$ cắt $Ox$ và $Oy$ tại $M$ và $N$.a) Chứng tỏ rằng tam giác $OMN$ có diện tích không đổi.b) Chứng tỏ rằng điểm giữa của đoạn $MN$ là tiếp điểm của $(D)$ với $(C)$.c) Khi nào thì khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $(D)$ là lớn nhất

Lời giải

$1)$ Hoành độ tiếp điểm của $(D)$ với $(C)$ là nghiệm của hệ
        $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{x} = {{ax}} + b{{                                  (1)}}\\
y’ = – \frac{1}{{{x^2}}} = a{{                               }}(2)
\end{array} \right.$
Thế $(2)$ vào $(1)$ ta được: $b – 2/x = 0 \Rightarrow bx – 2 = 0$.
Để hệ $(1), (2)$ có nghiệm, cần có $b \ne 0 \Rightarrow x = 2/b$.
Thế vào $(2)$ ta có $a = – {b^2}/4$
                    Đáp số: $b \ne 0,{{ a}} = – {b^2}/4$

$2)$
a) $(D)$ cắt $Ox$ và $Oy$ tại $M$  và $N$, ta có ${y_M} = 0;{{ }}{{{x}}_M} = – b/a,{{ }}{{{x}}_N} = 0;{{ }}{{{y}}_N} = b$, do đó
    $dt(OMN) = (1/2)OM.ON = (1/2).\left| {{x_M}.{y_N}} \right| = (1/2)\left| {(4/b).b} \right| = 2$

b) Gọi $I$ là trung điểm đoạn thẳng $MN$, hoành độ ${x_1}$ của $I$ bằng
    ${x_1} = (1/2)({x_M} + {x_N}) = (1/2)(4/b + 0) = 2/b$.
Áp dụng kết quả phần $1)$ ta có ${x_1} = 2/b$ là hoành độ tiếp điểm.

c) Đường thẳng $(D’)$ qua $O$ và vuông góc với $(D)$ có phương trình $y = – {{ax}}$.
Gọi $({x_1},{y_1})$ là tọa độ giao điểm của $(D’)$ và $(D)$ ta có
    $ – {{a}}{{{x}}_1} = {{a}}{{{x}}_1} + b$
$ \Rightarrow {x_1} = \frac{{ – b}}{{2a}} = \frac{{ – b}}{{2.( – {b^2}/4)}} = \frac{2}{b}$
$ \Rightarrow {y_1} = – {{a}}{{{x}}_1} = – a.\frac{2}{b} = \frac{{{b^2}}}{4}.\frac{2}{b} = \frac{b}{2}$.
Vậy khoảng cách $d$ từ $O$ đến $(D)$ bằng
    $d = \sqrt {{{(2/b)}^2} + {{(b/2)}^2}}  \ge \sqrt 2 $
$ \Rightarrow \max d = \sqrt 2 $ đạt được khi $2/b = b/2 \Leftrightarrow b = \pm 2 \Rightarrow a = – 1$