Đề: Cho hàm số :  $y=\sqrt{\sin x } + \sqrt{\cos x }$.  Tìm $max  y ,  min  y.$

Đề bài: Cho hàm số :  $y=\sqrt{\sin x } + \sqrt{\cos x }$.  Tìm $max  y ,  min  y.$

Lời giải

Tập xác định của hàm số là :
      $\left\{ \begin{array}{l}
0 \le \sin {\rm{x }} \le 1\\
0 \le \cos x \le 1          (\alpha )
\end{array} \right.$     
 Với $x \in (\alpha )$ ta có  $\left\{ \begin{array}{l}
0 \le \sqrt {\cos x} {\rm{ }} \le 1\\
0 \le \sqrt {\sin x}  \le 1
\end{array} \right.$
nên $\sqrt{\cos x } \geq  \cos ^2 x . $ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos x = 1
\end{array} \right.$
       $\sqrt{\sin x } \geq  \sin ^2 x . $ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\sin x = 1
\end{array} \right.$
Vậy  $y=\sqrt{\sin x } + \sqrt{\cos x } \geq  \sin ^2 x +\cos ^2x =1,  \forall x .$ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
        $\left[ \begin{array}{l}
\sin x = 1\\
\cos x = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \\
x = 2k\pi
\end{array} \right.$
Do đó $Min  y =1$ đạt được khi $\left[ \begin{array}{l}
x = 2k\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi
\end{array} \right.$
Mặt khác với $x \in (\alpha ),$ áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki với :
       $a_1 = 1 , a_2 =1$
       $b_1 = \sqrt{\sin x }, b_2 = \sqrt{\cos x }  $ ta được:
       $y=1.\sqrt{\sin x }+1.\sqrt{\cos x } \leq \sqrt{1^2+1^2} \sqrt{\sin x +\cos x } = \sqrt{2 \sqrt{2} \cos \left ( x – \frac{\pi }{ 4} \right ) } \leq \sqrt{2 \sqrt{2} } $
$y \leq \sqrt[4]{8} $ dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  $\frac{ \sqrt{\cos x } }{ 1} = \frac{\sqrt{\sin x }  }{1 } $ vì $x \in (\alpha )$
       $\Leftrightarrow \begin{cases}\sin x  \geq  0 \\ \sin x = \cos x \end{cases}$
       $\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{ 4} +2k\pi$
Vậy  $max  y = \sqrt[4]{8}  $  đạt được khi  $x = \frac{ \pi}{ 4} +2k\pi$