Đề: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :    $T=\frac{a^2+1}{b^2+1}+\frac{b^2+1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{a^2+1}$trong đó $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :    $T=\frac{a^2+1}{b^2+1}+\frac{b^2+1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{a^2+1}$trong đó $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$

Lời giải

Vì $(a,b,c)$ là một hoán vị vòng quanh trong $T$ nên không làm mất tính tổng quát , ta có thể giả thiết $a\geq b, a\geq c$.
Ta có:    $\frac{b^2+1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{a^2+1}\leq (b+c)^2+1+\frac{1}{a^2+1 }      (1)$
Thật vậy, $(1)\Leftrightarrow \frac{c^2}{a^2+1}\leq \frac{(b+c)^2c^2+(b+c)^2+c^2-b^2}{c^2+1}$
Vậy, $(1)$ được chứng minh và từ $(1)$ suy ra:
      $T\leq a^2+(b+c)^2+\frac{1}{a^2+1 } +2   (2)$
Ta sẽ đi chứng minh: $a^2+(b+c)^2+\frac{1}{a^2+1 } \leq \frac{3}{2 } (3)$ 
Thật vậy, thay $b+c=1-a$ và thự chiện các phép biến đổi đơn giản, ta có:
    $(3)\Leftrightarrow \frac{(1-a)(1-3a-4a^3)}{2(1+a^2)}\leq 0$   
Từ giả thiết về $a,b,c$ ta suy ra $1\geq a\geq \frac{1}{3}$.
Do đó, $1-3a-4a^3Từ $(2),(3)$ suy ra:
     $T\leq \frac{7}{2}$
Ta có $T=\frac{7}{2}$ khi và chỉ khi $(1),(2),(3)$ là những đẳng thức . Điều này tương đương với $a=1,b=c=0$.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức bằng $\frac{7}{2}$, đạt được khi một trong ba số $a,b,c$ bằng $1$ và hai số còn lại bằng $0$.