Đề: Trên parabol $y = {x^2}$, lấy hai điểm $A( – 1, 1), B(3 , 9)$ và  một điểm $M$ thuộc cung  . Xác định vị trí của $M$ sao cho tam giác $ABM$ có diện tích lớn nhất.

Đề bài: Trên parabol $y = {x^2}$, lấy hai điểm $A( – 1, 1), B(3 , 9)$ và  một điểm $M$ thuộc cung  . Xác định vị trí của $M$ sao cho tam giác $ABM$ có diện tích lớn nhất.

Lời giải

Tam giác $AMB$ có cạnh $AB$ cố định $ \Rightarrow $ diện tích $∆AMB$ lớn nhất khi và chỉ khi chiều cao $MH$ lớn nhất.
Gọi ${M_o}$là tiếp điểm thuộc cung của tiếp tuyến với parabol song song với $AB$.
Hiển nhiên $M = {M_o}$ thì diện tích $∆AMB$ lớn nhất.
Ta có hệ số góc của đường thẳng $AB$:  $k = \frac{{9 – 1}}{{3 – ( – 1)}} = 2$
Hoành độ của ${M_o}$ thỏa mãn phương trình $y’ = 2x = 2 \Rightarrow x = 1$  (khi đó tung độ của ${M_o}$ là $y = 1$).
Vậy $M = {M_o}(1{\rm{ , 1)}}$