Đề: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của tổng $S=3x+4y$, trong đó $(x, y)$ là nghiệm của bất phương trình $\log_{x^2+y^2}x 1$, trong hai trường hợp:a) $0

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của tổng $S=3x+4y$, trong đó $(x, y)$ là nghiệm của bất phương trình $\log_{x^2+y^2}x 1$, trong hai trường hợp:a) $0

Lời giải

Điều kiện: $x>0$

a) Từ $(1)$ suy ra $x^2+y^2\leq x\Leftrightarrow (x-\frac{1}{2})^2+y^2\leq \frac{1}{4} (3)$
Đặt $x-\frac{1}{2}=r.\cos t, y=r.\sin t      (r>0)$ thì
$(3) \Leftrightarrow  r^2\leq \frac{1}{4}$ nên $0$S=3x+4y=\frac{3}{2}+3r. \cos t+4r.\sin t=\frac{3}{2}+5r.(\frac{3}{5}\cos t+\frac{4}{5}\sin t)$
$=\frac{3}{2}+5 r.\cos(t-u) $ với $\frac{3}{5}=\cos u, \frac{4}{5}=\sin u  $
Mặt khác  $-1 \le \cos(t-u)\le 1$. Kết hợp với $(4)$ ta suy ra $- \frac{1}{2} \le r.\cos(t-u)\leq \frac{1}{2}$ 
Do đó  -$1 \leq S\leq 4$
$   \max S=4$ chẳng hạn khi $x=\frac{4}{5}, y=\frac{2}{5}$
$\min S=-1$ chẳng hạn khi $x=\frac{1}{5}, y=-\frac{2}{5}$.

b) Từ $(2)$ suy ra $x^2+y^2 \geq x $ nên $S$ không có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất vì có thể chọn cố định $x$, còn $y$ lớn tùy ý hoặc nhỏ tùy ý.