Đề bài: Cho các số thực không âm $a,b$ thỏa mãn $a+b=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $A=16ab(a-b)^2$
Lời giải
Theo bất đẳng thức Côsi ta có biến đổi :
$A=4(4ab).(a-b)^2\leq 4[\frac{4ab+(a-b)^2}{2}]^2=(a+b)^4=1$
Vậy, ta được $A_{\max=}=1$, đạt được khi:
$\begin{cases}a+b=1 \\ 4ab=(a-b)^2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}b=1-a \\ a^2+b^2-6ab=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}b=1-a \\ a^2+(1-a)^2-6a(1-a)=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}b=1-a \\ 8a^2-8a+1=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}b=1-a \\ a=\frac{2\pm \sqrt{2}}{4} \end{cases}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a=\frac{2+ \sqrt{2}}{4}, b=\frac{2- \sqrt{2}}{4} \\ a=\frac{2- \sqrt{2}}{4}, b=\frac{2+ \sqrt{2}}{4}\end{array} \right.$
Trả lời