Đề: Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng $(P)$ đi qua một đường chéo của hình lập phương. Phải chọn mặt phẳng $(P)$ thế nào để thiết diện thu được có diện tích nhỏ nhất?

Đề bài: Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng $(P)$ đi qua một đường chéo của hình lập phương. Phải chọn mặt phẳng $(P)$ thế nào để thiết diện thu được có diện tích nhỏ nhất?

Lời giải

Giả sử $P$ qua đường chéo $BD’$ chẳng hạn và cắt $AA’$ tại $M$.
Nối $D’M$ cắt $DA$ tại $M’$; nối $M’B$ cắt $DC$ tại $N’$ ; nối $N’D’$ cắt $CC’$ tại $N$.

Ta có $MBND’$ là thiết diện do $P$ cắt hình lập phương. Trong $P$ kẻ $D’H$ $ \bot $ $M’N’$.
Theo định lí ba đường vuông góc ta có $DH$ $ \bot  M’N’ \Rightarrow \alpha  = \widehat {D’HD}$ là góc tạo bởi $P$ và $(ABCD)$.
Ta có:
$S  =  dt\left( {ABCD’} \right) = dt\left( {ABCD} \right)/c{\rm{os}}\alpha {\rm{  =  }}dt\left( {ABCD} \right)/\sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } $
Từ đó $S$ nhỏ nhất khi $\sin \alpha $ nhỏ nhất.
Ta có $\sin \alpha  =\frac{DD’}{D’H}\geq \frac{DD’}{D’B’} $ dấu bằng xảy ra khi cắt $AA’$ tại trung điểm $M$ của $AA’$