Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất

Đề bài: Cho hàm số :  $y=\sqrt{\sin x } + \sqrt{\cos x }$.  Tìm $max  y ,  min  y.$ Lời giải Tập xác định của hàm số là :       $\left\{ \begin{array}{l}0 \le \sin {\rm{x }} \le 1\\0 \le \cos x \le 1          (\alpha )\end{array} \right.$       Với $x \in (\alpha )$ ta có  $\left\{ \begin{array}{l}0 […]

Đề bài: Cho các số thực không âm $a,b$ thỏa mãn $a+b=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :       $A=16ab(a-b)^2$ Lời giải Theo bất đẳng thức Côsi ta có biến đổi :    $A=4(4ab).(a-b)^2\leq 4[\frac{4ab+(a-b)^2}{2}]^2=(a+b)^4=1$Vậy, ta được $A_{\max=}=1$, đạt được khi:    $\begin{cases}a+b=1 \\ 4ab=(a-b)^2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}b=1-a \\ a^2+b^2-6ab=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}b=1-a \\ a^2+(1-a)^2-6a(1-a)=0 \end{cases}$    $\Leftrightarrow […]

Đề bài:   Cho $x>0$, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:         $y=4x+\frac{9\pi^2}{x}+\sin x$ Lời giải GiảiTheo bất đẳng thức Cô-si: $4x+\frac{9\pi^2}{x} \geq 2\sqrt{4x.\frac{9\pi^2}{x}}=12\pi$Đẳng thức xảy ra khi: $4x=\frac{9\pi^2}{x} \Leftrightarrow x=3\pi>0$Vì $\sin x \geq -1$ nên $y\geq 12\pi-1$ với mọi $x>0$. Đẳng thức xảy ra khi $x=3\pi.$Do đó $\min y=12\pi-1$, xảy ra khi $x=3\pi.$

Đề bài: Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng $(P)$ đi qua một đường chéo của hình lập phương. Phải chọn mặt phẳng $(P)$ thế nào để thiết diện thu được có diện tích nhỏ nhất? Lời giải Giả sử $P$ qua đường chéo $BD’$ chẳng hạn và cắt $AA’$ tại $M$. Nối $D’M$ […]

Đề bài: Cho hàm số :  $y= \frac{ \sin x + 2 \cos x +3}{ 2 \sin x+\cos x +3}.$  Tìm  $max  y  , min  y.$ Lời giải Xét phương trình : $2 \sin x +\cos x +3=0  \Leftrightarrow  2 \sin x + \cos x =-3   (1)$  là phương trình dạng $a \cos x + […]

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :    $T=\frac{a^2+1}{b^2+1}+\frac{b^2+1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{a^2+1}$trong đó $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$ Lời giải Vì $(a,b,c)$ là một hoán vị vòng quanh trong $T$ nên không làm mất tính tổng quát , ta có thể giả thiết $a\geq b, a\geq c$.Ta có:    $\frac{b^2+1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{a^2+1}\leq (b+c)^2+1+\frac{1}{a^2+1 […]

Đề bài: Tìm tập giá trị của các hàm số sau:a)  $y=3\cos (x+\frac{\pi}{3} )+2$                                         b)  $y=\sqrt{3+2\sin 2x} $c)  $y=\frac{1}{\sin ^4 x+ \cos ^4 x} $                                              d)  $y= […]

Đề bài: TÌm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:$y=\frac{3+8x^{2}+12x^{4}}{(1+2x^{2})^{2}}$ Lời giải Đặt: $x=\frac{1}{\sqrt{2}}\tan \alpha, \alpha \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$$\Rightarrow x^2=\frac{1}{2}\tan^2\alpha, x^4=\frac{1}{4}\tan^4\alpha$$\Rightarrow y=(3+4\tan^{2} \alpha+3\tan^{4} \alpha).\cos^{4}\alpha$$=3\cos^{4}\alpha+\sin^{2}2\alpha+3\sin^{4}\alpha$$=3(\sin^{4}\alpha+\cos^{4}\alpha)+\sin^{2}2\alpha$$=3-\frac{1}{2}\sin^{2}2\alpha \in [\frac{5}{2},3]$*Với: $\alpha=0 \Rightarrow y=3$*Với: $\alpha=\frac{\pi}{4} \Rightarrow y=\frac{5}{2}$Vậy: $y_{max}=3,y_{min}=\frac{5}{2}$

Đề bài: Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$.  Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất. Lời giải Điều kiện của nghiệm:  ${x^2} + {y^2} > 0,{\rm{ }}{x^2} + {y^2} \ne 1,{\rm{ x}} + y > 0$ a) ${x^2} + {y^2} > 1$. Bất phương trình đã cho tương […]

Đề bài: Tìm:a) GTNN của $y=x^{2}-6x+5$                                                  b)GTLN của $y=-2 x^{2}+3x-1 $c)GTNN của $y=(x-1)^{2}+(2x-3)^{2}+(3x-5)^{2}   $             d)GTNN của $ T=2y-2x-2xy-2 x^{2}-2 y^{2}+7  $ Lời giải Hướng dẫn: dùng phương pháp nhóm bình […]