Đề: TÌm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:$y=\frac{3+8x^{2}+12x^{4}}{(1+2x^{2})^{2}}$

Đề bài: TÌm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:$y=\frac{3+8x^{2}+12x^{4}}{(1+2x^{2})^{2}}$

Lời giải

Đặt: $x=\frac{1}{\sqrt{2}}\tan \alpha, \alpha \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
$\Rightarrow x^2=\frac{1}{2}\tan^2\alpha, x^4=\frac{1}{4}\tan^4\alpha$
$\Rightarrow y=(3+4\tan^{2} \alpha+3\tan^{4} \alpha).\cos^{4}\alpha$
$=3\cos^{4}\alpha+\sin^{2}2\alpha+3\sin^{4}\alpha$
$=3(\sin^{4}\alpha+\cos^{4}\alpha)+\sin^{2}2\alpha$
$=3-\frac{1}{2}\sin^{2}2\alpha \in [\frac{5}{2},3]$
*Với: $\alpha=0 \Rightarrow y=3$
*Với: $\alpha=\frac{\pi}{4} \Rightarrow y=\frac{5}{2}$
Vậy: $y_{max}=3,y_{min}=\frac{5}{2}$