Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất

Đề bài:    Giải sử $(x;y)$ là nghiệm của hệ phương trình:            $\begin{cases}x+y=2a-1 \\ x^2+y^2=a^2+2a-3 \end{cases}$Xác định $a$ để tích $xy$ là số nhỏ nhất. Lời giải GiảiĐặt $S=x+y, P=x.y$Ta có: $S=2a-1, x^2+y^2=S^2-2P=a^2+2a-3$$\Rightarrow P=\frac{1}{2}[(2a-1)^2-(a^2+2a-3)]=\frac{1}{2}(3a^2-6a+4)$Trước hết tìm $a$ để hệ có nghiệm.Điều kiện để hệ có nghiệm: $S^2-4P \geq 0 \Leftrightarrow (2a-1)^2-2(3a^2-6a+4)\geq 0$ $\Leftrightarrow -2a^2+8a-7 \geq […]

Đề bài: $f(x) = \cos x + \sqrt{2-\cos ^2 x .} $  Tìm $Max  f(x) , Min  f(x).$ Lời giải Tập xác định là $R$Đặt $\cos x =t.$ Điều kiện của $t: t \in [-1;1]   (A)$Hàm số $f(x)$ có dạng : $F=t+\sqrt{2-t^2} $ với  $t \in (A)$         $F’ (t) = 1 – \frac{ 1}{ \sqrt{2}-t^2 […]

Đề bài: Cho $n$ là một số tự nhiên và $a \in [ 0; n ]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức                           $| {\sum\limits_{i = 1}^n {\sin 2x_i} }|$, biết rằng $\sum\limits_{i = 1}^n {\sin^2}{x_i}  = a$ Lời giải Ta có:    […]

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:  $y = {(\cos x + \sin x)^3} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}$ Lời giải Ta có: $y = {{\rm{[}}\sqrt {\rm{2}} {\rm{sin(x + }}\pi {\rm{/4)]}}^{\rm{3}}} + \frac{4}{{{{\sin }^2}2x}} = 2\sqrt 2 {\sin ^3}(x + \pi /4) + \frac{4}{{{{\sin }^2}2x}} \ge – 2\sqrt 2  + 4$,Dấu = đạt […]

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$ Lời giải a) Hàm số $y=f(x)=\frac{\ln^2 x}{x}$ liên tục trên đoạn $[1;e^3]$ và có đạo hàm Ta có: $y’=\frac{x.2\ln x.\frac{1}{x}-\ln^2x }{x^2}=\frac{2\ln x-\ln^2x}{x^2}=\frac{\ln x(2-\ln x)}{x^2}.$Lập bảng biến thiên ta có:$\mathop […]

Đề bài: Cho $p, q$ là các số tự nhiên lớn hơn 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số                       $y=cos^pxsin^qx  (0\leq x\leq \frac{\pi}{2} )$ Lời giải Ta có:    ${y^2} = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{2p}}x{\sin ^{2q}}x = {(1 – {\sin ^2}x)^p}{\sin ^{2q}}x$Đặt $t = {\sin ^2}x,{\rm{ t}} \in \left[ {0{\rm{ ; 1}}} \right]$ ta […]

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:     $y=\cos ^22x-\sin x.\cos x+4$. Lời giải Biến đổi hàm số về dạng:     $y=(1-\sin^22x)-\frac{1}{2}\sin2x+4=-\sin^22x-\frac{1}{2}\sin2x+5$Đặt $t=\sin2x$, điều kiện $|t|\leq 1$.Khi đó, hàm số có dạng:    $y=-t^2-\frac{1}{2}t+5$.Đạo hàm:    $y^’=-2t-\frac{1}{2}, y^’=0\Leftrightarrow -2t-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow t=-\frac{1}{4}$Ta có:  $y(-1)=\frac{9}{2}, y(-\frac{1}{4})=\frac{81}{16}, y(1)=\frac{7}{2}$Vậy ta nhận được:-$\max y=\max(\frac{9}{2},\frac{81}{16},\frac{7}{2})=\frac{81}{16}$ đạt được khi :                   […]

Đề bài: Cho hàm số $y=\cos^22x+2(\sin x+\cos x)^2-3\sin2x+m$.Tính theo $m$ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Từ đó tìm $m$ sao cho $y^2\leq 36  \forall x $ Lời giải Ta có:   $y=\cos^22x+2(\sin x+\cos x)^2-3\sin2x+m$                 $=(\cos^2x-\sin^2x)^2+2(\sin x+\cos x)^2-3(1+\sin2x)+m+3$                 $=(\sin x+\cos x)^2[(\cos x-\sin x)^2-1]+m+3$                 $=(1+\sin2x)(-\sin2x)+m+3$Đặt $t=\sin2x$ điều kiện $|t|\leq 1$.Khi đó, […]

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a) \(y=\frac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4}\)b) \(y=\frac{\cos ^{2}x+\sin x\cos x}{1+\sin ^{2}x}\) Lời giải a) \(\Leftrightarrow (2y-1)\cos x-(y+2)\sin x=3-4y\)để phương trình trên có nghiệm thì: \((2y-1)^{2}+(y+2)^{2}\geqslant (3-4y)^{2}\)\(\Leftrightarrow 11y^{2}-24y+4\leq 0 \Leftrightarrow y\in [\frac{2}{11};2]\) Đáp số: \(Maxy=2, Miny=\frac{2}{11}\)b) \(y=\frac{\frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1}{2}\sin 2x}{1+\frac{1}{2}(1-\cos 2x)}=\frac{\sin 2x+\cos 2x+1}{3-\cos 2x}\)\(\Leftrightarrow […]