Đề:    Giải sử $(x;y)$ là nghiệm của hệ phương trình:            $\begin{cases}x+y=2a-1 \\ x^2+y^2=a^2+2a-3 \end{cases}$Xác định $a$ để tích $xy$ là số nhỏ nhất.

Đề bài:    Giải sử $(x;y)$ là nghiệm của hệ phương trình:            $\begin{cases}x+y=2a-1 \\ x^2+y^2=a^2+2a-3 \end{cases}$Xác định $a$ để tích $xy$ là số nhỏ nhất.

Lời giải

Giải
Đặt $S=x+y, P=x.y$
Ta có: $S=2a-1, x^2+y^2=S^2-2P=a^2+2a-3$
$\Rightarrow P=\frac{1}{2}[(2a-1)^2-(a^2+2a-3)]=\frac{1}{2}(3a^2-6a+4)$
Trước hết tìm $a$ để hệ có nghiệm.
Điều kiện để hệ có nghiệm: $S^2-4P \geq 0 \Leftrightarrow (2a-1)^2-2(3a^2-6a+4)\geq 0$
$\Leftrightarrow -2a^2+8a-7 \geq 0 \leftrightarrow 2-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq a \leq 2+\frac{\sqrt{2}}{2}      (1)$
Tìm $a$ để $P=\frac{1}{2}(3a^2-6a+4)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn
        $[2-\frac{\sqrt{2}}{2} ;2+\frac{\sqrt{2}}{2}]$
Ta có hoành độ đỉnh $a_0=\frac{6}{2.3}=1Parabol có bề lõm quay lên do đó $\min P=P(2-\frac{\sqrt{2}}{2} )$
Vậy với $a=2-\frac{\sqrt{2}}{2} $ thì $xy$ đạt giá trị nhỏ nhất.