Đề: Cho hàm số $y=\cos^22x+2(\sin x+\cos x)^2-3\sin2x+m$.Tính theo $m$ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Từ đó tìm $m$ sao cho $y^2\leq 36  \forall x $

Đề bài: Cho hàm số $y=\cos^22x+2(\sin x+\cos x)^2-3\sin2x+m$.Tính theo $m$ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Từ đó tìm $m$ sao cho $y^2\leq 36  \forall x $

Lời giải

Ta có:   $y=\cos^22x+2(\sin x+\cos x)^2-3\sin2x+m$
                 $=(\cos^2x-\sin^2x)^2+2(\sin x+\cos x)^2-3(1+\sin2x)+m+3$
                 $=(\sin x+\cos x)^2[(\cos x-\sin x)^2-1]+m+3$
                 $=(1+\sin2x)(-\sin2x)+m+3$
Đặt $t=\sin2x$ điều kiện $|t|\leq 1$.
Khi đó, hàm số được chuyển về dạng:
        $y=-t^2-t+m+3=f(t)$
-Miền xác định $D=[-1,1]$.
-Đạo hàm:
        $y^’=-2t-1, y^’=0\Leftrightarrow -2t-1=0 \Leftrightarrow t=-\frac{1}{2}$.
Ta có:
-$\min f=\min [f(-1), f(\frac{1}{2}), f(1)]=\min (m+3, m+\frac{13}{4}, m+1)=m+1$
đạt được khi :   $t=1\Leftrightarrow \sin 2x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in Z$.
-$\max f=\max [f(-1), f(\frac{1}{2}), f(1)]=\max(m+3, m+\frac{13}{4}, m+1)=m+\frac{13}{4}$
đạt được khi:   $t=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sin 2x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = -\frac{\pi}{12}+k\pi \\x = \frac{7\pi}{12}+k\pi\end{array} \right., k\in Z$.
Ta có:  $y^2\leq 36 \forall x\Leftrightarrow -6\leq y\leq 6$
             $\Leftrightarrow \begin{cases} \min f\geq -6 \\ \max f\leq 6 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m+1\geq -6 \\ m+\frac{13}{4}\leq 6 \end{cases}\Leftrightarrow -7\leq m \leq \frac{-11}{4}$.
Vậy, với $-7\leq m \leq \frac{-11}{4}$ thỏa mãn điều kiện đầu bài.