Đề bài: a) Tùy theo các giá trị khác nhau của $m$, hãy lập bảng biến thiên của hàm số $y = \frac{{x + m}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$b) Biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình $x + m = m\sqrt {{x^2} + 1} $
Lời giải
a) Hàm số xác định với mọi $x$. Ta có: $y’ = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} – (x + m)x/\sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^2} + 1}} = \frac{{1 – mx}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{3/2}}}}$
Ta có bảng biến thiên
Bạn đọc vẽ bảng biến thiên
b) Phương trình đã cho tương đương với
$\frac{{x + m}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = m$ $(1)$
Vế trái của $(1)$ là đồ thị của hàm số $y = \frac{{x + m}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$, còn vế phải là đường thẳng $y = m$.
Do $ – \sqrt {1 + {m^2}} $\left| m \right| \le 1$: $(1)$ có một nghiệm
$\left| m \right| > 1$: $(1)$ có hai nghiệm
Trả lời