Đề bài: Cho hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + {m^2}x + m\)$1$. Khảo sát sự biên thiên và vẽ đồ thị của hàm số với $m= 0$$2$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = \frac{1}{2}x – \frac{5}{2}\)
Lời giải
$1$. Bạn đọc tự giải:
$2$. Ta có \(y’ = 3{x^2} – 6x + {m^2};\Delta ‘ = 9 – 3{m^2}\)
Hàm số có cực đại, cực tiểu \( \Leftrightarrow \Delta ‘ > 0 \Leftrightarrow – \sqrt 3 Giả sử đồ thị có điểm cực đại \(A\left( {{x_{1,}}{y_1}} \right)\) và điểm cực tiểu \(B\left( {{x_2},{y_2}} \right)\). Ta có $A, B$ đối xứng nhau qua đường thẳng \((d) : y = \frac{1}{2}x – \frac{5}{2}\) \(\Leftrightarrow AB \bot (d)\) và trung điểm $E$ của $AB$ thuộc $(d)$
Hệ số góc của đường thẳng $AB$ là: \(a = \frac{{{y_2} – {y_1}}}{{{x_2} – {x_1}}} = \frac{{x_2^3 – x_1^3 – 3\left( {x_2^2 – x_1^2} \right) + {m^2}\left( {{x_2} – {x_1}} \right)}}{{{x_2} – {x_1}}}\)
\(\Rightarrow a = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – {x_1}{x_2} – 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} \left( 2 \right)\)
Theo định lý Viet: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2\\
{x_1}{x_2} = \frac{{{m^2}}}{3}
\end{array} \right.\)
Thay vào $(2)$ ta được: \(a = 4 – \frac{{{m^2}}}{3} – 6 + {m^2} = \frac{{2{m^2} – 6}}{3}\)
\(AB \bot (d) \Leftrightarrow a = – 2 \Leftrightarrow \frac{{2{m^2} – 6}}{3} = – 2 \Leftrightarrow m = 0\)
Ngược lại với $m = 0$, ta có \(y’ = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 0\\
{x_2} = 2
\end{array} \right.\)
Hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu \(A\left( {0,0} \right);B\left( {2, – 4} \right)\). Trung điểm của $AB$ là $E$ \(\left( {1, – 2} \right) \in \left( d \right)\)
Vậy $m = 0$ thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy $m = 0$.
Trả lời