Đề bài: Cho hàm số $y = \frac{{2{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số2) Có nhận xét gì về các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị $(C)$ từ các điểm trên đường thẳng $y = 7$3) Chứng minh rằng trên đường thẳng $y = 7$, có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ đến đồ thị $(C)$ hai tiếp tuyến lập với nhau góc $45^o$
Lời giải
$1)$ Dành cho bạn đọc.
$2)$ $y = 2x + 1 + \frac{2}{{x – 1}}$
$y’ = 2 – \frac{2}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = \frac{{2x\left( {x – 2} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}$
Ta có $y’\left( 2 \right) = 0,y\left( 2 \right) = 7 \Rightarrow y = 7$ là một tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Do đó trong các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị hàm số từ các điểm trên đường thẳng $y = 7$ thì đường thẳng này là một tiếp tuyến cố định.
$3)$ Vì $y = 7$ là một tiếp tuyến và là đường thẳng nằm ngang, nên tiếp tuyến thứ $2$ lặp với nó một góc ${45^o}$ phải có hệ số góc $ \pm tan{45^o} = \pm 1$.
Gọi $M\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến thứ 2 với đồ thị, ta có:
$ \pm 1 = y’\left( {{x_0}} \right) = 2 – \frac{2}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}} \Rightarrow {x_0} = 1 \pm \sqrt 2 ,{x_0} = 1 \pm \sqrt {2/3.} $
Như vậy trên đồ thị có $4$ điểm tại đó tiếp tuyến có hệ số góc $ \pm 1$. Bốn tiếp tuyến này cắt đường thẳng $y = 7$ tại $4$ điểm. Đó là điều cần chứng minh
Trả lời