Đề bài: Cho hàm số $y$ = \(\frac{{\left( {m + 1} \right){x^2} – 2mx – \left( {{m^3} – {m^2} + 2} \right)}}{{x – m}}\left( {{C_m}} \right)\)$1$. Khảo sát hàm số với $m = 0$$2$. Xác định tất cả các giá trị của $m$ sao cho hàm số luôn luôn nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
Lời giải
$1$. Bạn đọc tự giải
$2$. Ta có \(y’ = \frac{{\left( {m + 1} \right){x^2} – 2m\left( {m + 1} \right)x + {m^3} + {m^2} + 2}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}} = \frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}}\)
Trong đó \(f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^2} – 2m\left( {m + 1} \right)x + {m^3} + {m^2} + 2\)
Nếu \(m = – 1;f\left( x \right) = 2;y’ = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\forall x \ne – 1 \Rightarrow \)hàm số đồng biến trên TXĐ của nó
Nếu $m > -1$ thì $f(x)$ là một tam thức bậc hai của $x$ có $a = m + 1 >0$ và \(\Delta ‘ = – 2\left( {m + 1} \right) \(f\left( x \right) > 0\), do đó $y’ > 0$ với \(\forall x \ne – m\). Vậy hàm số đã cho cũng không thể nghịch biến trên TXĐ của nó.
Nếu $m 0\), nghĩa là $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt, do đó $y’(x)$ cũng có hai nghiệm phân biệt. Khi đó hàm số đã cho cũng không thể luôn luôn nghịch biến
Kết luận: không có giá trị $m$ để hàm số luôn nghịch biến.
Trả lời