Đề: Cho phương trình:   $2\cos x\cos2x\cos3x+m=7\cos2x$a)    Giải phương trình với $m =  – 7$b)    xác định $m$ để phương trình có nhiều hơn một nghiệm x thuộc đoạn $[ { – \frac{{3\pi }}{8}; – \frac{\pi }{8}} ]$

Đề bài: Cho phương trình:   $2\cos x\cos2x\cos3x+m=7\cos2x$a)    Giải phương trình với $m =  – 7$b)    xác định $m$ để phương trình có nhiều hơn một nghiệm x thuộc đoạn $[ { – \frac{{3\pi }}{8}; – \frac{\pi }{8}} ]$

Lời giải

Ta có:   $2\cos {\rm{x}}c{\rm{os}}3{\rm{x}} = c{\rm{os4x}} + c{\rm{os}}2{\rm{x}} = 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2{\rm{x}} – 1 + c{\rm{os2x}}$
Do đó phương trình đã cho tương đương với
    $c{\rm{os}}2{\rm{x}}\left( {2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2{\rm{x}} + c{\rm{os}}2{\rm{x}} – 1} \right) + m = 7c{\rm{os}}2{\rm{x}}$
$ \Leftrightarrow 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}2{\rm{x}} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2{\rm{x}} – 8c{\rm{os}}2{\rm{x  +  m = 0}}$                        $(1)$

a)  Với $m = – 7$
    $(1)$ trở thành $2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}2{\rm{x}} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2{\rm{x}} – 8c{\rm{os}}2{\rm{x}} – 7 = 0$                $(2)$
Do $ – 1 + 1 + 8 – 7 = 0$ nên
$(2) \Leftrightarrow \left( {c{\rm{os2x}} + 1} \right)\left( {2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2{\rm{x}} – c{\rm{os}}2{\rm{x}} – 7} \right) = 0$                       
      $ \Leftrightarrow \left( {c{\rm{os}}2{\rm{x}} + 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt 2 c{\rm{os}}2{\rm{x}} – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} – \frac{{57}}{8}} \right] = 0$
      $ \Leftrightarrow c{\rm{os}}2{\rm{x}} + 1 = 0 \Leftrightarrow c{\rm{os}}2{\rm{x}} =  – 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} = \left( {2k + 1} \right)\pi $
    $\Leftrightarrow x = \left( {2k + 1} \right)\frac{\pi }{2}    \left( {k \in Z} \right)$

b) $x \in \left[ { – \frac{{3\pi }}{8}; – \frac{\pi }{8}} \right] \Rightarrow 2{\rm{x}} \in \left[ { – \frac{{3\pi }}{4}; – \frac{\pi }{4}} \right]$ $ \Rightarrow c{\rm{os}}2{\rm{x}} \in \left[ { – \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]$.
Từ đó đặt $t = c{\rm{os}}2{\rm{x}}$ khi đó $(1)$ trở thành $f\left( t \right) = 2{t^3} + {t^2} – 8t = – m,  t \in \left[ { – \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]$. Ta có ${f^’}\left( t \right) = 6{t^2} + 2t – 8$; ${f^’}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1,t = – \frac{4}{3} \Rightarrow t \in \left[ { – \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]$,
$f\left( t \right)$ nghịch biến $ \Rightarrow \forall m$, phương trình $f\left( t \right) = – m$ có nghiệm thuộc $\left[ { – \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]$ (nếu có) là duy nhất.
Không tồn tại $m$ để phương trình $f\left( t \right) = – m$ có nhiều hơn $1$ nghiệm thuộc $\left[ { – \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]$, nên phương trình đã cho không thể có nhiều hơn một nghiệm thuộc $\left[ { – \frac{{3\pi }}{8}; – \frac{\pi }{8}} \right]$ với mọi $m$.