Đề bài: Cho hàm số: $y = \frac{x^2- x – 1}{1 + x}$$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.$2.$ Tìm tất cả những điểm trên trục tung mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị vừa vẽ.
Lời giải
$1.$ Bạn đọc tự giải
$2.$ Phương trình tiếp tuyến tại $({x_0};{y_0})$ thuộc đồ thị là:
$y – \frac{{x_0^2 – {x_0} – 1}}{{1 + {x_0}}} = \frac{{x_0^2 + 2{x_0}}}{{{{\left( {1 + {x_0}} \right)}^2}}}(x – {x_0})$
Tiếp tuyến này sẽ đi qua điểm $A(0;a)$ tùy ý đã cho trên trục tung
$ \Leftrightarrow a – \frac{{x_0^2 – {x_0} – 1}}{{1 + {x_0}}} = \frac{{x_0^2 + 2{x_0}}}{{{{\left( {1 + {x_0}} \right)}^2}}}( – {x_0})$
$ \Leftrightarrow {x_0}$là nghiệm của phương trình: $a – \frac{{{x^2} – x – 1}}{{1 + x}} = – \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}x\,\,(1)$
Qua $A(0, a)$ sẽ kẻ được $2$ tiếp tuyến đến đồ thị khi và chỉ khi pt ($1$) có $2$ nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow (a + 2){x^2} + 2(a + 1)x + a + 1 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $-1.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ne – 2\\
a \end{array} \right.$
Kết luận: Vậy điểm cần tìm là $A(0;a)$ với $a
Trả lời