Đề bài: Cho hàm số: $y = f(x) = \frac{mx^2 + (m – 1)x + {m^2} + m}{{x – m}}\,\,\,\,\,(1)$$a$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 1$.Từ đồ thị vẽ suy ra đồ thị:$y = \frac{{{x^2} + 2}}{{|x| – 1}}$$ b)$ Tìm $x_0$ để với mọi $m \ne 0$, tiếp tuyến của đồ thị ($1$) tại điểm có hoành độ $x_0$ song song với một đường thẳng cố định. Tìm hệ số góc của đường thẳng cố định ấy.
Lời giải
$a.$ Bạn đọc tự vẽ đồ thì $y=\frac{x^2+2}{x-1} (H)$.Từ $(H)$ suy ra được đồ thị $y=\frac{x^2+2}{|x|-1} $ như sau :
Vẽ phần đồ thị $H$ ở bên phải trục tung rồi lấy đối xứng qua trục tung.
$b.$ $f^/(x)=\frac{mx^2-2m^2x-2m^2}{(x-m)^2} \Rightarrow f^/(x_0)=\frac{m^2x_0-2m^2x_0-2m^2}{(x_0-m)^2} $
Cần tìm $x_0$ để $f^/(x_0)=k$ (hằng số) $\forall m\neq 0$
$\Leftrightarrow mx_0^2-2m^2x_0-2m^2=kx_0^2-2kx_0m+km^2$ đúng với $\forall m\neq 0$ và $x_0$
$\Leftrightarrow (2x_0+2+k)m^2-(2kx_0+x_0^2)m+kx_0^2=0$ đúng với $\forall m\neq 0$ và $x_0$
$\Leftrightarrow \begin{cases}2x_0+2+k=0 \\ 2kx_0+x_0^2=0\\kx_0^2=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_0=0 \\ k=-2 \end{cases} $
$\rightarrow
$ $x_0=0$ hệ số góc đường thẳng cố định bằng $2$
Trả lời