Đề: Cho hàm số      $y=\frac{(m+1)x+m}{x+m} $a)    Với $m = 1$:i) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.ii) Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.b) Chứng minh rằng với mọi $m \ne 0$, đồ thị của hàm số luôn tiếp xúc một đường thẳng cố định

Đề bài: Cho hàm số      $y=\frac{(m+1)x+m}{x+m} $a)    Với $m = 1$:i) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.ii) Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.b) Chứng minh rằng với mọi $m \ne 0$, đồ thị của hàm số luôn tiếp xúc một đường thẳng cố định

Lời giải

a)    Với $m = 1$:
$y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = 2 – \frac{1}{{x + 1}}$
i) Dành cho bạn đọc.
ii) Gọi $M\left( {{x_0},{y_0}} \right)$là điểm thuộc đồ thị ta có:
${y_0} = 2 – \frac{1}{{{x_0} + 1}}$
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là $\left| {{x_0} – \left( { – 1} \right)} \right| = \left| {{x_0} + 1} \right|$, đến tiệm cận ngang là
        $\left| {{y_0} – 2} \right| = \left| {2 – \frac{1}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}} – 2} \right| = \frac{1}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}}$
Tổng khoảng cách từ $M$ tới hai tiệm cận là :
        $d = \left| {{x_0} + 1} \right| + \frac{1}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}} \ge 2$
Vậy ${d_{\min }} = 2$khi$\left| {{x_0} + 1} \right| = 1 \Rightarrow {x_0} = 0,{x_0} = – 2$.
Các điểm $M$ cần tìm là ${M_1}\left( {0,1} \right),{M_2}\left( { – 2,3} \right)$.

b)    Ta viết lại hàm số dưới dạng   $y = m + 1 – \frac{{{m^2}}}{{x + m}}$.
Ta có $y’ = {m^2}/{\left( {x + m} \right)^2} \Rightarrow y’\left( 0 \right) = 1,\forall m \ne 0$ và $y\left( 0 \right) = 1,\forall m \ne 0$.
Từ đó suy ra đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với đường thẳng $y = x + 1,\forall m \ne 0$. (Tọa độ tiếp điểm $(0,1)$)