Đề: Xem hàm số: $y = \sqrt{a+cos x}+\sqrt{a+sin x}   $.  Trong đó $a \ge 0$.1)    Với $a = 0$, hãy tìm tập xác định của hàm số.2)    Tính đạo hàm $y’$ của hàm số đã cho.3)    Tìm ${y^2}$, từ đó suy ra rằng hàm số $y$ đạt giá trị lớn nhất khi: $x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi (k \in Z)$

Đề bài: Xem hàm số: $y = \sqrt{a+cos x}+\sqrt{a+sin x}   $.  Trong đó $a \ge 0$.1)    Với $a = 0$, hãy tìm tập xác định của hàm số.2)    Tính đạo hàm $y’$ của hàm số đã cho.3)    Tìm ${y^2}$, từ đó suy ra rằng hàm số $y$ đạt giá trị lớn nhất khi: $x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi (k \in Z)$

Lời giải

$1)$     Với $a = 0$ ta có $y = \sqrt {c{\rm{osx}}}  + \sqrt {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} $
Cần có $\left\{ \begin{array}{l}
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \ge {\rm{0}}\\
{\rm{cosx}} \ge {\rm{0}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow 2k\pi  \le x \le \frac{\pi }{2} + 2k\pi ,(k \in Z)$

$2)$    $y’ = \frac{{c{\rm{osx}}}}{{{\rm{2}}\sqrt {{\rm{a + sinx}}} }} – \frac{{{\rm{sinx}}}}{{{\rm{2}}\sqrt {{\rm{a + cosx}}} }}$

$3)$    ${y^2} = 2a + ({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + cosx}}){\rm{ + 2}}\sqrt {{{\rm{a}}^{\rm{2}}} + a({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + cosx}}) + {\rm{sinx}}c{\rm{osx}}} $
Đặt $t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + cosx \Rightarrow   t}} \le \sqrt {\rm{2}} ,{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inxcosx  =  }}\frac{{{{\rm{t}}^{\rm{2}}} – 1}}{2}$
$\begin{array}{l}
{y^2} = 2a + t{\rm{ + 2}}\sqrt {{{\rm{a}}^{\rm{2}}} + at + \frac{{{{\rm{t}}^{\rm{2}}} – 1}}{2}} \\
       \le 2a + \sqrt 2 {\rm{ + 2}}\sqrt {{{\rm{a}}^{\rm{2}}} + a\sqrt 2  + \frac{1}{2}}
\end{array}$
Dấu = chỉ có thể xảy ra khi:  $t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + cosx  = }}\sqrt {\rm{2}}  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi     (k \in Z)$
(để ý rằng vì $a \ge 0$, nên các điểm $x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi $ thuộc tập xác định của hàm số)