Đề:  Cho hàm số : $f(x) = \sqrt {{sin^4}x + {cos ^4}x – 2msinxcos x} $Tìm các giá trị của m để $f(x)$ xác định với mọi $x.$

Đề bài:  Cho hàm số : $f(x) = \sqrt {{sin^4}x + {cos ^4}x – 2msinxcos x} $Tìm các giá trị của m để $f(x)$ xác định với mọi $x.$

Lời giải

$f(x) = \sqrt {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x – 2m\sin x\cos x} $ xác định với mọi x
 $\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {\sin ^4}x + {\cos ^4}x – 2m\sin x\cos x \ge 0\,\,\forall x\\
 \Leftrightarrow 1 – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x – 2m\sin x\cos x \ge 0\,\,\forall x\\
 \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x{\cos ^2}x + 4m\sin x\cos x – 2 \le 0\forall x\\
 \Leftrightarrow {\sin ^2}2x + 2m\sin 2x – 2 \le 0\,\forall x\,\,(1)
\end{array}$
Đặt $t = sin2x$. Ta có ($1$) $ \Leftrightarrow {t^2} + 2mt – 2 \le 0\,\,(2)\,\,\,\forall t \in {\rm{[}} –
1;1]$
$ \Leftrightarrow $ tập nghiệm ($2$) chứa hết $[-1 ;1] $

Tập nghiệm của ($2$) có dạng như sơ đồ trên $ \Leftrightarrow  \pm 1$ nằm trong tập nghiệm của ($2$)
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1.f(1)=1 + 2m – 2 \le 0\\
1.f(-1)={( – 1)^2} + 2m( – 1) – 2 \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 1/2\\
m \ge  – 1/2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{ – 1}}{2} \le m \le \frac{1}{2}$