Một trang giấy hình chữ nhật có diện tích phần in chữ là $384\text{ cm}^2$. Biết lề trên và lề dưới đều rộng $3\text{ cm}$, lề trái và lề phải đều rộng $2\text{ cm}$. Tìm kích thước của trang giấy sao cho diện tích của toàn bộ trang giấy là nhỏ nhất

Gọi chiều rộng và chiều dài phần in chữ là $x, y > 0 \implies x \cdot y = 150 \implies y = \frac{150}{x}$.

Diện tích toàn tấm áp phích: $S(x) = (x + 4)(y + 6) = (x + 4)\left(\frac{150}{x} + 6\right) = 6x + \frac{600}{x} + 174$.

Đạo hàm: $S'(x) = 6 – \frac{600}{x^2} = 0 \implies x = 10\text{ cm}$. Khi đó $y = 15\text{ cm}$.

Đáp số: Chiều rộng trang là $X = 10 + 4 = 14\text{ cm}$, chiều dài là $Y = 15 + 6 = 21\text{ cm}$.

Thể tích hình trụ: $V = \pi R^2 h = 54\pi \implies h = \frac{54}{R^2}$.

Diện tích toàn phần: $S_{tp} = 2\pi R^2 + 2\pi Rh = 2\pi R^2 + 2\pi R \cdot \frac{54}{R^2} = 2\pi R^2 + \frac{108\pi}{R} = 2\pi\left(R^2 + \frac{27}{R} + \frac{27}{R}\right)$.

Áp dụng BĐT Cauchy: $R^2 + \frac{27}{R} + \frac{27}{R} \ge 3\sqrt[3]{R^2 \cdot \frac{27}{R} \cdot \frac{27}{R}} = 3 \cdot 9 = 27$.

Dấu bằng xảy ra khi $R^2 = \frac{27}{R} \iff R^3 = 27 \iff R = 3\text{ cm} \implies h = \frac{54}{3^2} = 6\text{ cm}$.

Đáp số: $R = 3\text{ cm}, h = 6\text{ cm}$.

Gọi chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông là $x$ ($0 < x < 100$), đoạn uốn thành hình tròn là $100 - x$.

Cạnh hình vuông là $\frac{x}{4}$, bán kính hình tròn là $r = \frac{100 – x}{2\pi}$.

Tổng diện tích: $S(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 + \pi\left(\frac{100 – x}{2\pi}\right)^2 = \frac{x^2}{16} + \frac{(100 – x)^2}{4\pi}$.

Đạo hàm: $S'(x) = \frac{x}{8} – \frac{100 – x}{2\pi} = 0 \iff \pi x – 4(100 – x) = 0 \iff (\pi + 4)x = 400 \implies x = \frac{400}{\pi + 4}\text{ cm}$.

Đáp số: Đoạn dây uốn thành hình vuông dài $\frac{400}{\pi + 4}\text{ cm} \approx 56\text{ cm}$.

Gọi cạnh có hàng rào ngăn chia là $x\text{ (m)}$ ($x > 0$), cạnh còn lại là $y\text{ (m)}$. Diện tích $x y = 800 \implies y = \frac{800}{x}$.

Tổng chiều dài hàng rào gồm $3$ đoạn độ dài $x$ và $2$ đoạn độ dài $y$: $L(x) = 3x + 2y = 3x + \frac{1600}{x}$.

Đạo hàm: $L'(x) = 3 – \frac{1600}{x^2} = 0 \implies x^2 = \frac{1600}{3} \implies x = \frac{40\sqrt{3}}{3}\text{ m}$.

Cạnh còn lại: $y = \frac{800}{\frac{40\sqrt{3}}{3}} = 20\sqrt{3}\text{ m}$.

Đáp số: Kích thước khu vườn là $\frac{40\sqrt{3}}{3}\text{ m} \times 20\sqrt{3}\text{ m}$.

Gọi bán kính nửa hình tròn là $r\text{ (m)}$ ($r > 0$). Chiều rộng hình chữ nhật là $2r$, gọi chiều cao hình chữ nhật là $h\text{ (m)}$.

Chu vi cửa sổ: $P = 2h + 2r + \pi r = 10 \implies h = \frac{10 – (2 + \pi)r}{2} = 5 – \frac{2 + \pi}{2}r$.

Diện tích cửa sổ: $S(r) = 2r \cdot h + \frac{1}{2}\pi r^2 = 2r\left(5 – \frac{2 + \pi}{2}r\right) + \frac{1}{2}\pi r^2 = 10r – \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r^2$.

Đạo hàm: $S'(r) = 10 – (4 + \pi)r = 0 \implies r = \frac{10}{\pi + 4}\text{ m}$.

Đáp số: Bán kính nửa hình tròn tối ưu là $r = \frac{10}{\pi + 4}\text{ m} \approx 1.4\text{ m}$.