Một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước $60\text{ cm} \times 96\text{ cm}$. Người ta cắt bỏ ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau có cạnh $x\text{ (cm)}$ rồi gấp mép lại để tạo thành một chiếc hộp không nắp. Tìm $x$ để thể tích khối hộp thu được đạt giá trị lớn nhất

Bước 1: Xác định kích thước khối hộp và điều kiện của biến số

Khi cắt bỏ 4 hình vuông có cạnh bằng $x$ ở 4 góc của tấm tôn:

• Chiều cao của khối hộp là: $h = x\text{ (cm)}$.
• Chiều rộng đáy của khối hộp là: $a = 60 – 2x\text{ (cm)}$.
• Chiều dài đáy của khối hộp là: $b = 96 – 2x\text{ (cm)}$.

Vì các kích thước chiều dài, chiều rộng phải là số dương nên điều kiện của $x$ là:

$$\begin{cases} x > 0 \\ 60 – 2x > 0 \\ 96 – 2x > 0 \end{cases} \iff 0 < x < 30$$

Bước 2: Xây dựng hàm số thể tích

Thể tích của khối hộp chữ nhật là hàm số theo $x$:

$$V(x) = x(60 – 2x)(96 – 2x) = 4x(30 – x)(48 – x) = 4(x^3 – 78x^2 + 1440x)$$ (với $x \in (0; 30)$).

Bước 3: Khảo sát hàm số để tìm cực đại

Lấy đạo hàm bậc nhất của $V(x)$:

$$V'(x) = 4(3x^2 – 156x + 1440) = 12(x^2 – 52x + 480)$$

Cho $V'(x) = 0 \iff x^2 – 52x + 480 = 0 \iff \begin{bmatrix} x = 12 \text{ (thỏa mãn } 0 < x < 30\text{)} \\ x = 40 \text{ (loại vì } 40 > 30\text{)} \end{bmatrix}$

Bước 4: Xét dấu $V'(x)$ và kết luận

• Trên khoảng $(0; 12)$, $V'(x) > 0$ nên hàm số đồng biến.
• Trên khoảng $(12; 30)$, $V'(x) < 0$ nên hàm số nghịch biến.

Do đó, hàm số $V(x)$ đạt cực đại và đạt giá trị lớn nhất tại $x = 12\text{ cm}$.

Khi đó thể tích cực đại là: $V(12) = 12(60 – 24)(96 – 24) = 12 \times 36 \times 72 = 31104\text{ cm}^3$.

👉 Kết luận / Đáp án: Chọn đáp án A ($x = 12\text{ cm}$).