📌 Đề bài:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 – 3mx^2 + 3(m^2 – 1)x + 2$ đạt cực tiểu tại điểm $x = 2$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để tìm điều kiện tham số cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm đến cấp hai đạt cực trị tại một điểm $x_0$, ta sử dụng các kiến thức trong chương trình Sách Giáo Khoa lớp 12:
- Điều kiện cần: Nếu hàm số $y = f(x)$ đạt cực trị tại điểm $x_0$ và có đạo hàm tại điểm đó thì $f'(x_0) = 0$.
- Dấu hiệu 2 (Điều kiện đủ qua đạo hàm cấp hai):
- Nếu $f'(x_0) = 0$ và $f”(x_0) > 0$ thì hàm số đạt cực tiểu tại $x_0$.
- Nếu $f'(x_0) = 0$ và $f”(x_0) < 0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_0$.
- Quy trình thực hiện:
- Tính $y’$ và $y”$.
- Giải phương trình $y'(x_0) = 0$ để tìm các giá trị khả dĩ của tham số $m$.
- Thay từng giá trị $m$ vào $y”(x_0)$ (hoặc lập bảng biến thiên) để kiểm tra tính chất cực trị tương ứng.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tính đạo hàm bậc một và bậc hai của hàm số:
$$y’ = 3x^2 – 6mx + 3(m^2 – 1)$$
$$y” = 6x – 6m$$
Bước 2: Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ là $y'(2) = 0$:
$$y'(2) = 3 imes 2^2 – 6m imes 2 + 3(m^2 – 1) = 0$$
$$\Leftrightarrow 12 – 12m + 3m^2 – 3 = 0 \Leftrightarrow 3m^2 – 12m + 9 = 0$$
$$\Leftrightarrow m^2 – 4m + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 3 \end{array}\right.$$
Bước 3: Kiểm tra lại với từng giá trị $m$:
- Trường hợp 1: Với $m = 1$, ta có:
$$y”(2) = 6 \times 2 – 6 \times 1 = 12 – 6 = 6 > 0$$
Do $y'(2) = 0$ và $y”(2) > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ (thỏa mãn yêu cầu đề bài). - Trường hợp 2: Với $m = 3$, ta có:
$$y”(2) = 6 \times 2 – 6 \times 3 = 12 – 18 = -6 < 0$$ Do $y'(2) = 0$ và $y''(2) < 0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ (loại).
👉 Kết luận: Giá trị tham số cần tìm là $m = 1$. Chọn đáp án C.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – mx^2 + (m^2 – m + 1)x + 1$ đạt cực đại tại $x = 1$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
$y'(1) = 0 \Leftrightarrow 1 – 2m + m^2 – m + 1 = 0 \Leftrightarrow m^2 – 3m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ hoặc $m = 2$.
– Với $m = 1$: $y”(1) = 2(1) – 2(1) = 0$. Xét dấu $y’ = (x – 1)^2 \ge 0$ nên không có cực trị (loại).
– Với $m = 2$: $y”(1) = 2(1) – 2(2) = -2 < 0 \Rightarrow$ hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ (thỏa mãn).
Đáp số: $m = 2$.
Bài tập 2: Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 3mx + 1$ có hai điểm cực trị $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 8$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Hàm số có 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow \Delta’ = 1 – m > 0 \Leftrightarrow m < 1$.
Theo Vi-ét: $x_1 + x_2 = 2, x_1 x_2 = m$.
Ta có: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 – 2x_1x_2 = 4 – 2m = 8 \Leftrightarrow 2m = -4 \Leftrightarrow m = -2$ (thỏa mãn $m < 1$).
Đáp số: $m = -2$.
Bài tập 3: Tìm số điểm cực trị của hàm số trùng phương $y = x^4 – 4x^2 + 3$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Vì $y’$ đổi dấu qua 3 nghiệm phân biệt này nên hàm số có đúng 3 điểm cực trị (gồm 1 điểm cực đại tại $x = 0$ và 2 điểm cực tiểu tại $x = \pm \sqrt{2}$).
Đáp số: Hàm số có 3 điểm cực trị.
Bài tập 4: Tìm giá trị cực đại $y_{\text{CĐ}}$ của hàm số $y = \frac{x^2 – 3x + 6}{x – 1}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
$y = x – 2 + \frac{4}{x – 1} \Rightarrow y’ = 1 – \frac{4}{(x – 1)^2} = \frac{(x – 1)^2 – 4}{(x – 1)^2} = \frac{x^2 – 2x – 3}{(x – 1)^2}$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$.
Bảng biến thiên cho thấy hàm số đạt cực đại tại điểm $x = -1$, suy ra giá trị cực đại $y_{\text{CĐ}} = y(-1) = \frac{(-1)^2 – 3(-1) + 6}{-1 – 1} = \frac{10}{-2} = -5$.
Đáp số: $y_{\text{CĐ}} = -5$.
Bài tập 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^4 – 2(m + 1)x^2 + m^2$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Ở đây $a = 1$, $b = -2(m+1)$.
– $ab < 0 \Leftrightarrow -2(m+1) < 0 \Leftrightarrow m > -1$.
– $b^3 + 8a = 0 \Leftrightarrow [-2(m+1)]^3 + 8(1) = 0 \Leftrightarrow -8(m+1)^3 + 8 = 0 \Leftrightarrow (m+1)^3 = 1 \Leftrightarrow m+1 = 1 \Leftrightarrow m = 0$.
Giá trị $m = 0$ thỏa mãn điều kiện $m > -1$.
Đáp số: $m = 0$.
Để lại phản hồi