📌 Đề bài:
Một người nông dân có $120\text{ m}$ lưới thép muốn rào một mảnh vườn hình chữ nhật tiếp giáp với một bức tường thẳng (phía giáp tường không cần rào). Người đó dùng thêm một đoạn lưới rào vuông góc với bờ tường để chia mảnh vườn thành hai phần nhỏ hình chữ nhật có diện tích bằng nhau. Hỏi diện tích lớn nhất của khu vườn mà người nông dân có thể rào được là bao nhiêu mét vuông?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Đây là dạng toán điển hình về ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học thực tế nằm trong chương trình Toán 12. Phương pháp giải tổng quát gồm các bước:
- Đặt ẩn và tìm điều kiện: Gọi biến số $x$ là một kích thước của mảnh đất (đoạn rào vuông góc với bờ tường), xác định điều kiện xác định $x \in (a; b)$.
- Biểu diễn đại lượng cần tối ưu: Biểu diễn chiều dài cạnh còn lại $y$ theo $x$ dựa vào tổng chiều dài lưới rào $120\text{ m}$. Từ đó lập hàm số diện tích $S(x) = x \cdot y$.
- Tìm cực trị hàm số: Tính đạo hàm $S'(x)$, giải phương trình $S'(x) = 0$ tìm điểm tới hạn, lập bảng biến thiên hoặc dùng tính chất của tam thức bậc hai/đạo hàm để suy ra giá trị lớn nhất $S_{\max}$.
Tham khảo thêm: Bài toán tối ưu hóa tương tự như bài toán cắt tôn tạo thành hộp có thể tích lớn nhất hay bài toán sản xuất bồn chứa với chi phí nhỏ nhất.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Đặt ẩn và biểu diễn các kích thước
Gọi $x$ (m) là độ dài của cạnh mảnh vườn vuông góc với bức tường ($x > 0$).
Do người nông dân dùng thêm một đoạn lưới bên trong vuông góc với bức tường để chia đôi mảnh vườn, nên có tất cả $3$ đoạn rào có cùng chiều dài $x$.
Gọi $y$ (m) là chiều dài cạnh song song với bức tường ($y > 0$).
Tổng chiều dài lưới thép sử dụng là:
$$3x + y = 120 \implies y = 120 – 3x$$
Vì $y > 0$ nên $120 – 3x > 0 \iff x < 40$. Do đó, điều kiện của biến số là $x \in (0; 40)$.
Bước 2: Thiết lập hàm số diện tích
Diện tích toàn bộ khu vườn hình chữ nhật là:
$$S(x) = x \cdot y = x(120 – 3x) = -3x^2 + 120x\quad (\text{với } 0 < x < 40)$$
Bước 3: Tìm cực trị để diện tích đạt giá trị lớn nhất
Lấy đạo hàm bậc nhất của $S(x)$ theo biến $x$:
$$S'(x) = -6x + 120$$
Cho $S'(x) = 0 \iff -6x + 120 = 0 \iff x = 20$ (thỏa mãn $x \in (0; 40)$).
Bảng biến thiên của hàm số $S(x)$ trên khoảng $(0; 40)$:
- Với $x \in (0; 20)$, ta có $S'(x) > 0 \implies S(x)$ đồng biến đi lên.
- Với $x \in (20; 40)$, ta có $S'(x) < 0 \implies S(x)$ nghịch biến đi xuống.
Do đó, hàm số đạt cực đại tại $x = 20$.
Giá trị lớn nhất của diện tích là:
$$S_{\max} = S(20) = -3(20)^2 + 120(20) = -1200 + 2400 = 1200\text{ (m}^2\text{)}$$
Khi đó kích thước của mảnh vườn là chiều rộng $x = 20\text{ m}$ và chiều dài $y = 120 – 3(20) = 60\text{ m}$.
👉 Kết luận / Đáp án: Chọn đáp án B ($1200\text{ m}^2$).
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Một gia đình muốn rào một mảnh vườn hình chữ nhật tiếp giáp bờ sông thẳng (bờ sông không cần rào) bằng $100\text{ m}$ dây thép gai. Tìm diện tích lớn nhất của mảnh vườn có thể rào được.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Gọi $x$ là chiều rộng vuông góc với bờ sông ($0 < x < 50$), chiều dài song song bờ sông là $y = 100 - 2x$.
Diện tích: $S(x) = x(100 – 2x) = -2x^2 + 100x$.
Đạo hàm $S'(x) = -4x + 100 = 0 \iff x = 25\text{ (m)}$.
Diện tích lớn nhất là $S_{\max} = S(25) = 25 \times 50 = 1250\text{ m}^2$.
Bài tập 2: Người ta dùng $240\text{ m}$ lưới rào để rào một khu đất hình chữ nhật giáp bờ tường thẳng (không rào phía tường), đồng thời chia khu đất thành ba luống hình chữ nhật bằng hai đường rào vuông góc với bờ tường. Tìm diện tích lớn nhất của khu đất.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Có 4 đoạn vuông góc bờ tường độ dài $x$ và 1 đoạn song song bờ tường độ dài $y$.
Ta có: $4x + y = 240 \implies y = 240 – 4x$ với $0 < x < 60$.
Hàm diện tích: $S(x) = x(240 – 4x) = -4x^2 + 240x$.
$S'(x) = -8x + 240 = 0 \iff x = 30\text{ (m)}$.
Diện tích lớn nhất: $S_{\max} = S(30) = 30 \times 120 = 3600\text{ m}^2$.
Bài tập 3: Dùng $360\text{ m}$ lưới thép để rào trọn vẹn một mảnh đất hình chữ nhật (rào cả 4 cạnh) và chia đôi mảnh đất thành hai phần bằng một đường rào song song với một cạnh. Tìm diện tích lớn nhất của mảnh đất.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Gọi kích thước cạnh có đường chia là $x$ (gồm 3 đoạn) và cạnh còn lại là $y$ (gồm 2 đoạn).
Tổng chiều dài: $3x + 2y = 360 \implies y = \frac{360 – 3x}{2} = 180 – 1.5x$ ($0 < x < 120$).
Diện tích: $S(x) = x(180 – 1.5x) = -1.5x^2 + 180x$.
$S'(x) = -3x + 180 = 0 \iff x = 60\text{ (m)} \implies y = 90\text{ (m)}$.
Diện tích lớn nhất: $S_{\max} = 60 \times 90 = 5400\text{ m}^2$.
Bài tập 4: Một xưởng cơ khí cần gia công một bể nước hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $V = 108\text{ m}^3$, đáy là hình vuông cạnh $x\text{ (m)}$. Tìm $x$ để tổng diện tích vật liệu làm bể (gồm đáy và 4 mặt xung quanh) là nhỏ nhất.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Chiều cao bể là $h = \frac{V}{x^2} = \frac{108}{x^2}$ ($x > 0$).
Diện tích vật liệu: $S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + \frac{432}{x}$.
Đạo hàm: $S'(x) = 2x – \frac{432}{x^2} = \frac{2(x^3 – 216)}{x^2}$.
$S'(x) = 0 \iff x^3 = 216 \iff x = 6\text{ (m)}$.
Vậy cạnh đáy $x = 6\text{ m}$ thì lượng vật liệu sử dụng là nhỏ nhất ($S_{\min} = 108\text{ m}^2$).
Bài tập 5: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $600\text{ m}^2$. Người ta rào quanh khu vườn và dựng một hàng rào ngăn đôi vườn thành 2 phần bằng nhau. Biết giá rào bao quanh là $100.000\text{ đồng/m}$, giá rào ngăn đôi là $50.000\text{ đồng/m}$. Tìm chiều rộng của hàng rào ngăn đôi để chi phí tiết kiệm nhất.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Gọi chiều dài đường rào ngăn đôi là $x$ ($x > 0$). Chiều dài cạnh vuông góc với nó là $y = \frac{600}{x}$.
Hàng rào gồm: 2 đoạn viền dài $x$, 1 đoạn chia dài $x$ và 2 đoạn viền dài $y$.
Tổng chi phí: $C(x) = 100(2x + 2y) + 50x = 250x + 200y = 250x + \frac{120.000}{x}$ (nghìn đồng).
Đạo hàm: $C'(x) = 250 – \frac{120.000}{x^2} = 0 \iff x^2 = 480 \iff x = \sqrt{480} = 4\sqrt{30}\text{ (m)} \approx 21,91\text{ m}$.
Để lại phản hồi