📌 Đề bài:
Một doanh nghiệp dự định sản xuất một bồn chứa nước bằng inox dạng hình trụ không có nắp đậy với dung tích yêu cầu là $V = 16\pi\text{ m}^3$. Biết rằng chi phí làm đáy bồn là $400.000\text{ đồng/m}^2$, chi phí làm mặt xung quanh (thân bồn) là $200.000\text{ đồng/m}^2$ và độ dày của vật liệu là không đáng kể. Để tổng chi phí sản xuất bồn chứa đạt giá trị nhỏ nhất, bán kính đáy $R$ của bồn nước cần bằng bao nhiêu mét?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Đây là dạng toán điển hình về ứng dụng tối ưu hóa hình học trong thực tế thuộc chương trình Toán lớp 12 mới. Các bước thiết lập và giải quyết bài toán tối ưu:
- Bước 1: Xác định các biến số và điều kiện hình học: Gọi $R > 0$ là bán kính đáy, $h > 0$ là chiều cao của hình trụ. Khi đó thể tích $V = \pi R^2 h = 16\pi \implies h = \frac{16}{R^2}$.
- Bước 2: Thiết lập hàm chi phí theo một biến $R$ duy nhất:
• Diện tích đáy: $S_{\text{đáy}} = \pi R^2$.
• Diện tích xung quanh: $S_{xq} = 2\pi R h = 2\pi R \cdot \frac{16}{R^2} = \frac{32\pi}{R}$.
• Hàm tổng chi phí: $T(R) = 400.000 \cdot S_{\text{đáy}} + 200.000 \cdot S_{xq}$. - Bước 3: Tìm cực trị của hàm số thông qua việc tính đạo hàm $T'(R)$, lập bảng biến thiên hoặc áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) để suy ra giá trị nhỏ nhất của chi phí.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Biểu diễn chiều cao theo bán kính đáy
Gọi $R$ (mét, $R > 0$) là bán kính đáy và $h$ (mét, $h > 0$) là chiều cao của bồn chứa hình trụ.
Thể tích của bồn chứa hình trụ là:
$$V = \pi R^2 h = 16\pi \iff h = \frac{16}{R^2}$$
Bước 2: Thiết lập biểu thức hàm chi phí
Diện tích đáy của bồn chứa (do bồn không có nắp nên chỉ có $1$ mặt đáy):
$$S_{\text{đáy}} = \pi R^2\text{ (m}^2\text{)}$$
Diện tích xung quanh của bồn chứa:
$$S_{xq} = 2\pi R h = 2\pi R \cdot \frac{16}{R^2} = \frac{32\pi}{R}\text{ (m}^2\text{)}$$
Tổng chi phí $T(R)$ (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất bồn chứa được biểu diễn bởi hàm số:
$$T(R) = 400 \cdot (\pi R^2) + 200 \cdot \left(\frac{32\pi}{R}\right) = 400\pi \left( R^2 + \frac{16}{R} \right)$$
Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Xét hàm số $f(R) = R^2 + \frac{16}{R}$ với $R \in (0; +\infty)$.
Lấy đạo hàm của $f(R)$ theo biến $R$:
$$f'(R) = 2R – \frac{16}{R^2} = \frac{2R^3 – 16}{R^2}$$
Cho $f'(R) = 0 \iff 2R^3 – 16 = 0 \iff R^3 = 8 \iff R = 2$.
Bảng biến thiên:
- Với $0 < R < 2$: $f'(R) < 0 \implies$ Hàm số nghịch biến.
- Với $R > 2$: $f'(R) > 0 \implies$ Hàm số đồng biến.
Do đó, hàm số $f(R)$ đạt giá trị nhỏ nhất tuyệt đối trên khoảng $(0; +\infty)$ tại $R = 2$.
(Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $R^2 + \frac{16}{R} = R^2 + \frac{8}{R} + \frac{8}{R} \ge 3\sqrt[3]{R^2 \cdot \frac{8}{R} \cdot \frac{8}{R}} = 3\sqrt[3]{64} = 12$. Dấu “=” xảy ra khi $R^2 = \frac{8}{R} \iff R = 2$).
Khi đó, chiều cao tương ứng là $h = \frac{16}{2^2} = 4\text{ m}$. Chi phí sản xuất tối thiểu là $T(2) = 400\pi \cdot 12 = 4800\pi\text{ (nghìn đồng)} = 4.800.000\pi\text{ (đồng)}$.
👉 Kết luận: Để tổng chi phí sản xuất là nhỏ nhất thì bán kính đáy cần thiết kế là $R = 2\text{ m}$. Chọn đáp án B.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Một người nông dân muốn rào một khu đất hình chữ nhật có diện tích $800\text{ m}^2$ giáp với một bờ sông thẳng (bờ sông không cần rào). Biết chi phí rào ba cạnh còn lại là $150.000\text{ đồng/m}$. Tìm chiều dài cạnh song song với bờ sông để tổng chiều dài hàng rào là ngắn nhất (tối thiểu hóa chi phí rào).
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Gọi $x$ là chiều rộng (hai cạnh vuông góc bờ sông) và $y$ là chiều dài (cạnh song song bờ sông) với $x, y > 0$.
Diện tích $x \cdot y = 800 \implies y = \frac{800}{x}$.
Tổng chiều dài rào: $L(x) = 2x + y = 2x + \frac{800}{x}$. Áp dụng BĐT AM-GM: $2x + \frac{800}{x} \ge 2\sqrt{2x \cdot \frac{800}{x}} = 2\sqrt{1600} = 80\text{ m}$.
Dấu “=” xảy ra $\iff 2x = \frac{800}{x} \iff x^2 = 400 \implies x = 20\text{ m}$. Khi đó cạnh song song bờ sông là $y = \frac{800}{20} = 40\text{ m}$.
Đáp số: Cạnh song song bờ sông dài $40\text{ m}$.
Bài tập 2: Một hộp sữa hình trụ có thể tích $V = 500\pi\text{ cm}^3$ có nắp đậy kín hai đầu. Tìm bán kính đáy $R$ để diện tích toàn phần của vỏ hộp sữa nhỏ nhất (nhằm tiết kiệm nguyên vật liệu làm vỏ hộp nhất).
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Thể tích $V = \pi R^2 h = 500\pi \implies h = \frac{500}{R^2}$.
Diện tích toàn phần: $S_{tp} = 2\pi R^2 + 2\pi R h = 2\pi R^2 + \frac{1000\pi}{R} = 2\pi \left( R^2 + \frac{250}{R} + \frac{250}{R} \right)$.
Áp dụng BĐT AM-GM: $R^2 + \frac{250}{R} + \frac{250}{R} \ge 3\sqrt[3]{R^2 \cdot \frac{250}{R} \cdot \frac{250}{R}} = 3\sqrt[3]{62500} = 75\sqrt[3]{4}$.
Dấu “=” xảy ra khi $R^2 = \frac{250}{R} \iff R^3 = 250 \implies R = \sqrt[3]{250} = 5\sqrt[3]{2}\text{ cm}$.
Đáp số: $R = 5\sqrt[3]{2}\text{ cm}$.
Bài tập 3: Người ta cần xây một bể chứa nước dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $V = 32\text{ m}^3$, đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công xây đáy là $500.000\text{ đồng/m}^2$, xây thành xung quanh là $300.000\text{ đồng/m}^2$. Tìm chiều rộng của đáy bể để chi phí xây dựng bể là thấp nhất.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Gọi chiều rộng đáy là $x\text{ (m)}$, suy ra chiều dài là $2x\text{ (m)}$ ($x > 0$). Chiều cao là $h = \frac{V}{2x^2} = \frac{32}{2x^2} = \frac{16}{x^2}$.
Diện tích đáy: $S_{\text{đáy}} = 2x^2$. Diện tích 4 mặt bên: $S_{xq} = 2(x + 2x)h = 6xh = \frac{96}{x}$.
Tổng chi phí $C(x) = 500 \cdot (2x^2) + 300 \cdot \left(\frac{96}{x}\right) = 1000x^2 + \frac{28800}{x} = 1000\left( x^2 + \frac{14,4}{x} + \frac{14,4}{x} \right)$.
Đạo hàm $C'(x) = 2000x – \frac{28800}{x^2} = 0 \iff x^3 = 14,4 \implies x = \sqrt[3]{14,4}\text{ m} = \frac{\sqrt[3]{1800}}{5}\text{ m}$.
Đáp số: Chiều rộng đáy $x = \sqrt[3]{14,4}\text{ m}$.
Bài tập 4: Một xưởng in nhận in một trang sách hình chữ nhật có diện tích toàn trang là $384\text{ cm}^2$. Biết lề trên và lề dưới để trống $3\text{ cm}$, hai lề bên trái và phải để trống $2\text{ cm}$. Kích thước toàn bộ trang giấy (chiều rộng và chiều dài) phải bằng bao nhiêu để phần diện tích in chữ là lớn nhất?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Gọi chiều rộng trang sách là $x\text{ (cm, } x > 4)$, chiều dài trang sách là $y = \frac{384}{x}\text{ (cm, } y > 6)$.
Kích thước phần in chữ: Chiều rộng in là $x – 4$, chiều dài in là $y – 6 = \frac{384}{x} – 6$.
Diện tích phần in chữ: $S(x) = (x – 4)\left(\frac{384}{x} – 6\right) = 384 – 6x – \frac{1536}{x} + 24 = 408 – \left(6x + \frac{1536}{x}\right)$.
$S(x)$ lớn nhất khi $g(x) = 6x + \frac{1536}{x}$ nhỏ nhất. Áp dụng AM-GM: $6x + \frac{1536}{x} \ge 2\sqrt{6 \cdot 1536} = 192$. Dấu “=” khi $6x = \frac{1536}{x} \iff x^2 = 256 \implies x = 16\text{ cm}$.
Khi đó $y = \frac{384}{16} = 24\text{ cm}$.
Đáp số: Chiều rộng $16\text{ cm}$ và chiều dài $24\text{ cm}$.
Bài tập 5: Một công ty điện lực dự định kéo đường dây điện từ nhà máy phát điện $A$ trên bờ sông thẳng đến một trạm biến áp $C$ nằm ở một hòn đảo cách bờ sông $3\text{ km}$. Điểm đối diện của $C$ trên bờ là $B$, khoảng cách từ $A$ đến $B$ là $8\text{ km}$. Chi phí kéo $1\text{ km}$ dây điện dưới nước là $50$ triệu đồng, chi phí kéo $1\text{ km}$ dây điện trên bộ là $30$ triệu đồng. Hỏi nên đặt điểm nối $M$ trên đoạn bờ $AB$ cách $B$ bao nhiêu kilômét để tổng chi phí kéo dây là nhỏ nhất?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Đặt $MB = x\text{ (km, } 0 \le x \le 8)$. Khi đó đoạn đường dây trên bộ là $AM = 8 – x$.
Đoạn đường dây dưới nước là $MC = \sqrt{MB^2 + BC^2} = \sqrt{x^2 + 3^2} = \sqrt{x^2 + 9}$.
Tổng chi phí (triệu đồng): $f(x) = 30(8 – x) + 50\sqrt{x^2 + 9} = 240 – 30x + 50\sqrt{x^2 + 9}$.
Đạo hàm: $f'(x) = -30 + \frac{50x}{\sqrt{x^2 + 9}} = 0 \iff 50x = 30\sqrt{x^2 + 9} \iff 5x = 3\sqrt{x^2 + 9} \iff 25x^2 = 9(x^2 + 9) \iff 16x^2 = 81 \implies x = \frac{9}{4} = 2,25\text{ km}$.
Dễ thấy $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x = 2,25$ nên $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x = 2,25$.
Đáp số: Điểm $M$ cách $B$ một khoảng $2,25\text{ km}$.
Để lại phản hồi