📌 Đề bài:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 3(1 – m)x + 1 + 3m$ có hai điểm cực trị $A, B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông tại gốc tọa độ $O$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết các bài toán về cực trị hàm bậc ba kết hợp yếu tố hình học tọa độ, ta thực hiện theo các bước chuẩn:
- Điều kiện có hai điểm cực trị: Hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình đạo hàm $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt, tức $\Delta_{y’} > 0$. Khác với bài toán tìm m để hàm số đạt cực trị tại một điểm, ở đây ta cần xác định phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị.
- Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: Chia đa thức $y$ cho $y’$, ta được $y = y’ \cdot q(x) + r(x)$. Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A(x_1; y_1)$ và $B(x_2; y_2)$ có phương trình là $y = r(x)$.
- Điều kiện tam giác vuông tại $O$: Với hai điểm $A(x_1; y_1)$ và $B(x_2; y_2)$, tam giác $OAB$ vuông tại $O \Leftrightarrow \vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0 \Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$. Kết hợp định lý Vi-ét cho phương trình $y’ = 0$ để tìm $m$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị.
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm của hàm số là:
$$y’ = 3x^2 – 6x + 3(1 – m) = 3\left(x^2 – 2x + 1 – m\right)$$
Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow x^2 – 2x + 1 – m = 0 \Leftrightarrow (x – 1)^2 = m$.
Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình $y’ = 0$ phải có hai nghiệm phân biệt, điều này tương đương với:
$$m > 0$$
Khi đó, hoành độ hai điểm cực trị là $x_1 = 1 – \sqrt{m}$ và $x_2 = 1 + \sqrt{m}$.
Theo định lý Vi-ét ta có: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 x_2 = 1 – m \end{cases}$
Bước 2: Tìm phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị.
Thực hiện phép chia đa thức $y$ cho $y’$, ta có phân tích:
$$y = \left(\frac{1}{3}x – \frac{1}{3}\right) y’ – 2mx + 2m = \left(\frac{1}{3}x – \frac{1}{3}\right) y’ – 2m(x – 1)$$
Tại các điểm cực trị $A(x_1; y_1)$ và $B(x_2; y_2)$, ta có $y'(x_1) = y'(x_2) = 0$, do đó:
$$y_1 = -2m(x_1 – 1) = -2m(-\sqrt{m}) = 2m\sqrt{m}$$
$$y_2 = -2m(x_2 – 1) = -2m(\sqrt{m}) = -2m\sqrt{m}$$
Tọa độ hai điểm cực trị là $A(1 – \sqrt{m}; 2m\sqrt{m})$ và $B(1 + \sqrt{m}; -2m\sqrt{m})$.
Bước 3: Thiết lập điều kiện tam giác $OAB$ vuông tại $O$.
Ta có $\vec{OA} = (1 – \sqrt{m}; 2m\sqrt{m})$ và $\vec{OB} = (1 + \sqrt{m}; -2m\sqrt{m})$.
Tam giác $OAB$ vuông tại gốc tọa độ $O$ khi và chỉ khi:
$$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0 \Leftrightarrow (1 – \sqrt{m})(1 + \sqrt{m}) + (2m\sqrt{m})(-2m\sqrt{m}) = 0$$
$$\Leftrightarrow (1 – m) – 4m^3 = 0 \Leftrightarrow 4m^3 + m – 1 = 0$$
$$\Leftrightarrow (2m – 1)(2m^2 + m + 1) = 0$$
Vì $2m^2 + m + 1 = 2\left(m + \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{7}{8} > 0$ với mọi $m$, nên phương trình tương đương:
$$2m – 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$$
Giá trị $m = \frac{1}{2}$ thỏa mãn điều kiện $m > 0$.
👉 Kết luận / Đáp án: Chọn B ($m = \frac{1}{2}$).
Ngoài các dạng toán cực trị hàm bậc ba, học sinh cũng cần chú ý nắm chắc chuyên đề về cực trị của hàm số trùng phương để xử lý tốt mọi câu hỏi trong đề thi.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^3 – 3mx^2 + 4m^3$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích bằng $4$ (với $O$ là gốc tọa độ).
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
$y’ = 3x^2 – 6mx = 3x(x – 2m)$. Hàm số có 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow m \neq 0$.
Tọa độ hai điểm cực trị là $A(0; 4m^3)$ và $B(2m; 0)$.
Vì $A \in Oy$ và $B \in Ox$ nên tam giác $OAB$ vuông tại $O$.
Diện tích $S_{OAB} = \frac{1}{2} OA \cdot OB = \frac{1}{2} |4m^3| \cdot |2m| = 4m^4$.
Theo giả thiết: $4m^4 = 4 \Leftrightarrow m^4 = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$ (thỏa mãn $m \neq 0$).
Đáp số: $m = \pm 1$.
Bài tập 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – mx^2 + (m^2 – 1)x + 1$ đạt cực trị tại hai điểm $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 – x_1 x_2 = 7$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
$y’ = x^2 – 2mx + m^2 – 1$. Ta có $\Delta’ = m^2 – (m^2 – 1) = 1 > 0$ với mọi $m$, nên hàm số luôn có 2 cực trị $x_1, x_2$.
Theo định lý Vi-ét: $x_1 + x_2 = 2m$ và $x_1 x_2 = m^2 – 1$.
Ta có: $x_1^2 + x_2^2 – x_1 x_2 = (x_1 + x_2)^2 – 3x_1 x_2 = (2m)^2 – 3(m^2 – 1) = m^2 + 3$.
Theo đề bài: $m^2 + 3 = 7 \Leftrightarrow m^2 = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2$.
Đáp số: $m = \pm 2$.
Bài tập 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = 2x^3 + 3(m – 1)x^2 + 6m(1 – 2m)x$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục tung.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
$y’ = 6x^2 + 6(m – 1)x + 6m(1 – 2m) = 6\left[x^2 + (m – 1)x + m(1 – 2m)\right]$.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung khi và chỉ khi phương trình $y’ = 0$ có 2 nghiệm trái dấu, tức là $P = x_1 x_2 < 0$.
$\Leftrightarrow m(1 – 2m) < 0 \Leftrightarrow m < 0$ hoặc $m > \frac{1}{2}$.
Đáp số: $m \in (-\infty; 0) \cup \left(\frac{1}{2}; +\infty\right)$.
Bài tập 4: Tìm $m$ để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^3 – 3mx + 2$ vuông góc với đường thẳng $d: y = \frac{1}{2}x + 2026$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
$y’ = 3x^2 – 3m$. Hàm số có 2 cực trị $\Leftrightarrow m > 0$.
Chia $y$ cho $y’$: $y = \frac{x}{3} \cdot y’ – 2mx + 2$.
Phương trình đường thẳng qua hai cực trị là $\Delta: y = -2mx + 2$. Hệ số góc $k_1 = -2m$.
Đường thẳng $d$ có hệ số góc $k_2 = \frac{1}{2}$.
Để $\Delta \perp d \Leftrightarrow k_1 \cdot k_2 = -1 \Leftrightarrow (-2m) \cdot \frac{1}{2} = -1 \Leftrightarrow -m = -1 \Leftrightarrow m = 1$ (thỏa mãn $m > 0$).
Đáp số: $m = 1$.
Bài tập 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 – 3x^2 + mx – 1$ có hai điểm cực trị $x_1, x_2$ thỏa mãn $|x_1 – x_2| = 2$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
$y’ = 3x^2 – 6x + m$.
Điều kiện có 2 điểm cực trị: $\Delta’ = (-3)^2 – 3m = 9 – 3m > 0 \Leftrightarrow m < 3$.
Theo định lý Vi-ét: $x_1 + x_2 = 2$ và $x_1 x_2 = \frac{m}{3}$.
Ta có: $|x_1 – x_2| = 2 \Leftrightarrow (x_1 – x_2)^2 = 4 \Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 – 4x_1 x_2 = 4$.
$\Leftrightarrow 2^2 – 4\left(\frac{m}{3}\right) = 4 \Leftrightarrow 4 – \frac{4m}{3} = 4 \Leftrightarrow -\frac{4m}{3} = 0 \Leftrightarrow m = 0$.
Giá trị $m = 0$ thỏa mãn điều kiện $m < 3$.
Đáp số: $m = 0$.
Để lại phản hồi