📌 Đề bài:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^3 – 3mx^2 + 4m^3$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho độ dài đoạn thẳng $AB = \sqrt{20}$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết bài toán tìm tham số $m$ liên quan đến khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$, ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Tính đạo hàm $y’$. Hàm số có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt (tức là $\Delta_{y’} > 0$ và $a \neq 0$). Tương tự như trong bài toán tìm tham số để hàm số đạt cực trị, việc xét dấu đạo hàm là điều kiện tiên quyết.
- Bước 2: Tìm tọa độ hai điểm cực trị $A(x_1; y_1)$ và $B(x_2; y_2)$ bằng cách giải phương trình $y’ = 0$ hoặc sử dụng phép chia đa thức để viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị.
- Bước 3: Tính độ dài đoạn thẳng $AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}$. Thiết lập phương trình $AB = \sqrt{20}$ và giải tìm $m$, sau đó đối chiếu điều kiện để kết luận. Dạng bài này cũng có nhiều nét tương đồng với bài toán cực trị hàm bậc ba tạo thành tam giác vuông.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $$y’ = 3x^2 – 6mx = 3x(x – 2m)$$
Phương trình $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 0 \\ &x = 2m \end{aligned}\right.$
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình $y’ = 0$ phải có hai nghiệm phân biệt, điều này tương đương với:
$$2m \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 0$$
Bước 2: Xác định tọa độ các điểm cực trị
Với $x = 0 \implies y(0) = 4m^3$, ta được điểm cực trị thứ nhất $A(0; 4m^3)$.
Với $x = 2m \implies y(2m) = (2m)^3 – 3m(2m)^2 + 4m^3 = 8m^3 – 12m^3 + 4m^3 = 0$, ta được điểm cực trị thứ hai $B(2m; 0)$.
Bước 3: Thiết lập phương trình độ dài $AB$ và giải tìm $m$
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị $A$ và $B$ là:
$$AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} = \sqrt{(2m – 0)^2 + (0 – 4m^3)^2} = \sqrt{4m^2 + 16m^6}$$
Theo đề bài ta có $AB = \sqrt{20}$, suy ra:
$$\sqrt{4m^2 + 16m^6} = \sqrt{20} \Leftrightarrow 16m^6 + 4m^2 = 20 \Leftrightarrow 4m^6 + m^2 – 5 = 0$$
Đặt $t = m^2$ ($t > 0$ vì $m \neq 0$), phương trình trở thành:
$$4t^3 + t – 5 = 0 \Leftrightarrow (t – 1)(4t^2 + 4t + 5) = 0$$
Vì $4t^2 + 4t + 5 = (2t + 1)^2 + 4 > 0$ với mọi $t$, nên phương trình có nghiệm duy nhất:
$$t – 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \implies m^2 = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$$
Cả hai giá trị $m = 1$ và $m = -1$ đều thỏa mãn điều kiện $m \neq 0$.
👉 Kết luận: Chọn đáp án B ($m = \pm 1$).
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bạn cũng có thể tham khảo thêm các bài toán về diện tích tam giác tạo bởi các điểm cực trị như trong bài toán tam giác cực trị của hàm trùng phương.
Bài tập 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^3 – 3mx^2 + 2$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho $AB = 2\sqrt{5}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
• $y’ = 3x^2 – 6mx = 3x(x – 2m)$. Điều kiện có 2 cực trị là $m \neq 0$.
• Tọa độ hai điểm cực trị: $A(0; 2)$ và $B(2m; 2 – 4m^3)$.
• $AB^2 = (2m)^2 + (-4m^3)^2 = 4m^2 + 16m^6 = (2\sqrt{5})^2 = 20 \Leftrightarrow 4m^6 + m^2 – 5 = 0 \Leftrightarrow m^2 = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$.
Đáp số: $m = \pm 1$.
Bài tập 2: Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y = -x^3 + 3mx^2 – 3m – 1$ có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng $d: x + 8y – 74 = 0$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
• $y’ = -3x^2 + 6mx = -3x(x – 2m) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2m$. Điều kiện: $m \neq 0$.
• Hai điểm cực trị là $A(0; -3m – 1)$ và $B(2m; 4m^3 – 3m – 1)$.
• Trung điểm $I$ của $AB$ có tọa độ $I(m; 2m^3 – 3m – 1)$.
• $A, B$ đối xứng qua $d \Leftrightarrow I \in d$ và $\vec{AB} \perp \vec{u}_d = (8; -1)$.
• Ta có $\vec{AB} = (2m; 4m^3)$. $\vec{AB} \cdot (8; -1) = 0 \Leftrightarrow 16m – 4m^3 = 0 \Leftrightarrow 4m(4 – m^2) = 0 \implies m = \pm 2$ (do $m \neq 0$).
• Thử lại: Với $m = 2 \implies I(2; 9)$, thay vào $d: 2 + 8(9) – 74 = 0$ (thỏa mãn). Với $m = -2 \implies I(-2; -11)$, thay vào $d: -2 + 8(-11) – 74 \neq 0$ (loại).
Đáp số: $m = 2$.
Bài tập 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = 2x^3 + 3(m – 1)x^2 + 6m(1 – 2m)x$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
• $y’ = 6x^2 + 6(m – 1)x + 6m(1 – 2m) = 6\left[x^2 + (m – 1)x + m(1 – 2m)\right]$.
• Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung khi và chỉ khi phương trình $y’ = 0$ có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow x_1 x_2 < 0$.
• Theo định lý Vi-ét: $x_1 x_2 = m(1 – 2m) < 0 \Leftrightarrow m < 0$ hoặc $m > \frac{1}{2}$.
Đáp số: $m \in (-\infty; 0) \cup \left(\frac{1}{2}; +\infty\right)$.
Bài tập 4: Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 – mx + 2$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $A, B$ sao cho đường thẳng $AB$ đi qua điểm $M(1; -2)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
• $y’ = 3x^2 – 6x – m$. Điều kiện có hai điểm cực trị: $\Delta’ = 9 + 3m > 0 \Leftrightarrow m > -3$.
• Thực hiện phép chia $y$ cho $y’$, ta được phần dư là phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị: $y = -\frac{2}{3}(m + 3)x + 2 – \frac{m}{3}$.
• Đường thẳng $AB$ đi qua $M(1; -2) \Leftrightarrow -2 = -\frac{2}{3}(m + 3)(1) + 2 – \frac{m}{3} \Leftrightarrow -2 = -m + \frac{-2(3) + 6 – m}{3} \dots \Leftrightarrow -2 = -m \Leftrightarrow m = 2$.
• So sánh với điều kiện $m > -3$, giá trị $m = 2$ thỏa mãn.
Đáp số: $m = 2$.
Bài tập 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^3 – 3x^2 + m^2$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho diện tích tam giác $OAB$ bằng $3$ (với $O$ là gốc tọa độ).
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
• $y’ = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
• Hai điểm cực trị: $A(0; m^2)$ và $B(2; m^2 – 4)$.
• Diện tích tam giác $OAB$: $S_{OAB} = \frac{1}{2}|x_A y_B – x_B y_A| = \frac{1}{2}|0 – 2m^2| = m^2$.
• Theo đề bài: $S_{OAB} = 3 \Leftrightarrow m^2 = 3 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{3}$.
Đáp số: $m = \pm \sqrt{3}$.
Để lại phản hồi