(THPT Phù Cừ – Hưng Yên – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\) tâm \(I(2; – 1;3)\) bán kính \(R = 4\) và mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x – 6z – 2 = 0\). Biết mặt phẳng \((P)\) là giao của hai mặt cầu \((S)\) và \(\left( {{S_1}} \right)\). Gọi \(M,N\) là hai điểm thay đổi thuộc mặt phẳng \((P)\) sao cho \(MN = \sqrt 2 \). Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) bằng \(\sqrt {a – b\sqrt 2 } \), với \(a,b \in \mathbb{R}\) và \(A(0;5;0),B(3; – 2; – 4)\). Tính giá trị gần đúng của \(\frac{b}{a}\) (làm tròn đến hàng phần trăm).

(THPT Lê Thánh Tông – HCM-2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ \({\rm{Ox}}yz\)cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{\left( {x + 5} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 25\),

\(\left( {{S_2}} \right):{\left( {x + 5} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 100\) và điểm \(K\left( {8;0;0} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) di động nhưng luôn tiếp xúc với \(\left( {{S_1}} \right)\), đồng thời cắt \(\left( {{S_2}} \right)\) tại hai điểm \(M,N\). Tam giác \(KMN\) có diện tích lớn nhất bằng

(Sở Hà Tĩnh 2022) Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng \(d:\frac{{x – 5}}{1} = \frac{{y + 7}}{2} = \frac{{z – 3}}{3}\), \({d_1}:\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ – 2}}\) và \({d_2}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y – 3}}{{ – 3}} = \frac{z}{2}\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng song song với \(d\) đồng thời cắt cả hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm nào sau đây?

(THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điếm \(A(2; – 1; – 1),B(0;1; – 2)\) và mặt phắng \((P):2x + y – 2z – 2 = 0\). Điếm \(M\) thuộc mặt phắng \((P)\) sao cho \(\widehat {AMB}\) Ión nhất, khì đó \(\cos \widehat {AMB}\) bằng

(THPT Phù Cừ – Hưng Yên – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 1}\\{z = t}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng \((P):2x – z + 3 = 0\). Biết đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(O(0;0;0)\) gốc toạ độ, có 1 vectơ chỉ phương \(\vec u = (1;a;b)\), vuông góc với đường thẳng \(d\) và hợp với mặt phẳng \((P)\) một góc lớn nhất. Hỏi điểm nào sau đây thuộc đường thẳng \(\Delta \) ?

(Đại học Hồng Đức – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 2}}{2},\left( {{d_2}} \right):\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z – 1}}{3}\) và điểm \(A(4;1;2)\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(A\) cắt \({d_1}\) và cách \({d_2}\) một khoảng lớn nhất. Lấy \(\vec u = (a;1;c)\) là một véctơ chỉ phương của \(\Delta \). Độ dài của \(\vec u\) là

(Sở Thanh Hóa 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho bốn điếm \(A(2;3;5),B( – 1;3;2),C( – 2;1;3),D(5;7;4)\). Xét điếm \(M(a;b;c)\) di động trên mặt phắng \((Oxy)\), khi \(T = 4M{A^2} + 5M{B^2} – 6M{C^2} + M{D^4}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(a + b + c\) bằng

(Chuyên Vinh – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P):2x – y + 2z + 16 = 0\) và mặt cầu \((S):{(x – 2)^2} + {(y + 1)^2} + {(z – 3)^2} = 21\). Một khối hộp chữ nhật \((H)\) có bốn đỉnh nằm trên mặt phẳng \((P)\) và bốn đỉnh còn lại nằm trên mặt cầu \((S)\). Khi \((H)\) có thể tích lớn nhất, thì mặt phẳng chứa bốn đỉnh của \((H)\) nằm trên mặt cầu \((S)\) là \((Q):2x + by + cz + d = 0\). Giá trị \(b + c + d\) bằng