(Sở Hà Tĩnh 2022) Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng \(d:\frac{{x – 5}}{1} = \frac{{y + 7}}{2} = \frac{{z – 3}}{3}\), \({d_1}:\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ – 2}}\) và \({d_2}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y – 3}}{{ – 3}} = \frac{z}{2}\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng song song với \(d\) đồng thời cắt cả hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm nào sau đây?

Câu hỏi:

A. \(\left( {4;10;17} \right)\).

B. \(\left( {4;1; – 7} \right)\).

C. \(\left( {3; – 12;10} \right)\).

D. \(\left( {1; – 6;6} \right)\).

Lời giải:

Chọn A

Gọi \(A = \Delta \cap {d_1}\)\( \Rightarrow A\left( {2{t_1}; – 1 + {t_1}; – 3 – 2{t_1}} \right)\).

\(B = \Delta \cap {d_2}\)\( \Rightarrow B\left( { – 2 + {t_2};3 – 3{t_2};2{t_2}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { – 2 + {t_2} – 2{t_1};4 – 3{t_2} – {t_1};3 + 2{t_2} + 2{t_1}} \right)\).

Do \(\Delta \) là đường thẳng song song với \(d\) nên \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {{u_d}} \) cùng phương.

\( \Rightarrow \frac{{ – 2 + {t_2} – 2{t_1}}}{1} = \frac{{4 – 3{t_2} – {t_1}}}{2} = \frac{{3 + 2{t_2} + 2{t_1}}}{3}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 4 + 2{t_2} – 4{t_1} = 4 – 3{t_2} – {t_1}\\ – 6 + 3{t_2} – 6{t_1} = 3 + 2{t_2} + 2{t_1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{t_1} – 5{t_2} = – 8\\8{t_1} – {t_2} = – 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = – 1\\{t_2} = 1\end{array} \right.\)

Đường thẳng \(\Delta \) qua \(B\left( { – 1;0;2} \right)\) và nhận vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;3} \right)\) có phương trình là

\(\Delta :\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 2}}{3}\).

Thay tọa độ \(\left( {4;10;17} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta được \(\frac{{4 + 1}}{1} = \frac{{10}}{2} = \frac{{17 – 2}}{3}\) (thỏa mãn).

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC