A. \(T = 1\).
B. \(T = – 1\).
C. \(T = \frac{7}{3}\).
D. \(T = – \frac{7}{3}\).
Lời giải:
Ta có mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \(I\left( {0;1;2} \right)\) bán kính \({R_1} = 4\) và mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm \(K\left( {1; – 1;0} \right)\) bán kính \({R_2} = 1\).
Có \(IK = 3\), suy ra \(IK = {R_1} – {R_2}\) nên hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) tiếp xúc trong tại \(H\).
Suy ra \(\overrightarrow {IH} = \frac{4}{3}\overrightarrow {IK} \Rightarrow H\left( {\frac{4}{3}; – \frac{5}{3}; – \frac{2}{3}} \right)\) và \(\overrightarrow {IK} = \left( {1; – 2; – 2} \right)\).
Vì \(\left( P \right)\) là mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) nên \(\left( P \right)\) qua \(H\) và nhận vectơ \(\overrightarrow {IK} = \left( {1; – 2; – 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến. Suy ra ra phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(x – 2y – 2z – 6 = 0\).
Giả sử điểm \(M\) thay đổi trên \(\left( P \right)\) thỏa mãn đường thẳng \(IM\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\), tiếp điểm tương ứng là \(N\).
Ta có \(\Delta IKN\) và \(\Delta IMH\) đồng dạng suy ra \(\frac{{IN}}{{IH}} = \frac{{NK}}{{HM}}\quad \left( * \right)\).
Với \(NK = {R_2} = 1;IH = 4;IK = 3;IN = \sqrt {I{K^2} – N{K^2}} = 2\sqrt 2 \) nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow \)\(\frac{{2\sqrt 2 }}{4} = \frac{1}{{HM}} \Leftrightarrow HM = \sqrt 2 \).
Mặt khác ta lại có \(A \in \left( P \right)\) và \(M\) thay đổi thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(H\) bán kính \(R = \sqrt 2 \) nên \(AM\) ngắn nhất bằng \(HA – R = 4\sqrt 2 – \sqrt 2 = 3\sqrt 2 \) khi điểm \(M\) thoả mãn \(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AH} \)\( \Rightarrow M\left( {\frac{4}{3}; – \frac{2}{3}; – \frac{5}{3}} \right)\)
Suy ra \(a = \frac{4}{3};b = – \frac{2}{3};c = – \frac{5}{3}\)\( \Rightarrow T = a + b + c = – 1\).
=========== Tương tự Câu 50 CỰC TRỊ HÌNH HỌC OXYZ – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024
Trả lời