[4] Trong không gian \(Oxyz\), cho hình nón \(\left( \mathcal{N} \right)\) có đỉnh \(O\left( {0;0;0} \right)\), độ dài đường sinh bằng \(\sqrt 5 \) và đường tròn đáy nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right):z + 2 = 0\). Mặt phẳng \(\left( Q \right):x – 3y = 0\) cắt đường tròn đáy tại hai điểm \(A,B\). Mặt phẳng \(\left( R \right):3z + 2 = 0\) cắt đường sinh \(OB\) tại điểm \(K\). Hỏi độ dài đường ngắn nhất chạy trên bề mặt của hình nón \(\left( \mathcal{N} \right)\) nối từ \(A\) đến \(K\) nằm trong khoảng nào?

A. \(\left( {\frac{1}{2};1} \right)\).

B. \(\;\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\)C\(.\;\left( {\frac{3}{2};2} \right)\). D\(.\;\left( {2;\frac{5}{2}} \right)\).

Lời giải:

Gọi \(l,h,r\) lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính của hình nón.

Theo đề bài ta có \(l = \sqrt 5 \) và \(h = d\left( {O,\left( P \right)} \right) = 2\). Suy ra \(r = \sqrt {{l^2} – {h^2}} = 1\).

Tâm \(I\) của đường tròn đáy là hình chiếu của \(O\) lên \(\left( P \right)\), suy ra \(I\left( {0;0; – 2} \right)\).

Dễ thấy \(O,I\) đều nằm trên \(\left( Q \right)\) nên \(\left( Q \right)\) đi qua trục của nón, cắt nón tạo thành thiết diện là tam giác \(AOB\) với \(AB\) là một đường kính của đường tròn đáy.

Mặt khác, \(d\left( {O,R} \right) = \frac{2}{3}\) và hình chiếu của \(O\) lên \(\left( R \right)\) là \(J\left( {0;0; – \frac{2}{3}} \right)\) nằm giữa \(O\) và \(I\) nên điểm \(K\) sẽ nằm giữa đoạn \(OB\) thỏa mãn \(\frac{{OK}}{{OB}} = \frac{{OJ}}{{OI}} = \frac{1}{3}\) (hình vẽ bên trái)

+ Khai triển hình nón dọc theo đường sinh \(OA\) (trải ra mặt phẳng)

+ Ta được hình quạt \(OABA’\) (hình bên phải)

+ Trong các điều kiện của bài toán đường ngắn nhất trên mặt nón trở thành đoạn thẳng \(AK\)

+ Trong tam giác \(OAK\) ta có:\(A{K^2} = {\rm{ }}A{O^2} + O{K^2} – {\rm{ }}2AO.OK.cos\alpha \), với \(OA = \sqrt 5 {\rm{,}}OK{\rm{ = }}\frac{{\sqrt 5 }}{3}\).

Tính độ dài cung \(AA’ = 2\pi \) nên độ dài ; từ đó tính góc SAB qua độ dài cung AB; . Từ đó suy ra \(AK = \sqrt {5 + \frac{5}{9} – 2.\frac{5}{3}\cos \frac{\pi }{{\sqrt 5 }}} \approx 2,237\).