A. \(r = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\).
B. \(r = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
C. \(r = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
D. \(r = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}\).
Lời giải:
Điểm \(M\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\) là 1 điểm thuộc \(\left( P \right)\).
Vì \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) nên \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 10} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} }} = \frac{{12}}{3} = 4\).
Giả sử \(I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\) là tâm của \(\left( S \right)\). Vì \(\left( S \right)\) tiếp xúc với cả \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = \frac{{d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)}}{2} = \frac{4}{2} = 2\).
Do đó \(IA = 2\) nên \(I\) luôn thuộc mặt cầu \(\left( T \right)\) tâm \(A\), bán kính \(2\).
Ngoài ra \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {2a – b – 2c – 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {2a – b – 2c + 10} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow \left| {2a – b – 2c – 2} \right| = \left| {2a – b – 2c + 10} \right|\) \( \Leftrightarrow 2a – b – 2c – 2 = – \left( {2a – b – 2c + 10} \right)\)
\( \Leftrightarrow 2a – b – 2c + 4 = 0\). Do đó \(I\) luôn thuộc mặt phẳng \(\left( R \right):2x – y – 2z + 4 = 0\).
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( R \right)\). Vì \(A,\;\left( R \right)\) cố định nên \(H\) cố định.
Ta có: \(AH = d\left( {A,\left( R \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 – 2 – 2.1 + 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3}\).
Mà \(AH \bot \left( R \right) \Rightarrow AH \bot HI\), do đó \(\Delta AHI\) vuông tại \(H\) nên
\(HI = \sqrt {A{I^2} – A{H^2}} = \sqrt {{2^2} – {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\).
Vậy \(I\) luôn thuộc đường tròn tâm \(H\), nằm trên mặt phẳng \(\left( R \right)\), bán kính \(r = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\).
=========== Tương tự Câu 50 CỰC TRỊ HÌNH HỌC OXYZ – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024
Trả lời