[4] Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {4; – 2;4} \right),B\left( { – 2;6;4} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = – 1\\z = t\end{array} \right..\) Gọi \(M\) là điểm di động thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) và \(N\) là điểm di động luôn cách \(d\) một khoảng là 1 đơn vị và cách mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) một khoảng không quá 3 đơn vị. Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(MN\) bằng

A. \(3\sqrt {11} + 1\).

B. \(\sqrt {58} + 1\).

C. \(3\sqrt {10} + 1\).

D. \(11\).

Lời giải:

Ta có \(A\left( {4; – 2;4} \right),B\left( { – 2;6;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { – 6;8;0} \right) \Rightarrow AB = 10 \Rightarrow IM = 5.\)

\(\overrightarrow {I{I_1}} = \left( {4; – 3;0} \right) \Rightarrow I{I_1} = 5.\)

Gọi \(I’\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow I’\left( {1;2;4} \right).\)

\(M\) là điểm di động thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\widehat {AMB} = 90^\circ \), khi đó \(M\)nằm trên đường tròn tâm \(I\left( {1;2;0} \right)\), bán kính \(R = 3.\)

Phương trình đường tròn \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {z^2} = 9\\z = 0\end{array} \right..\).

\(N\) là điểm di động luôn cách \(d\) một khoảng là 1 đơn vị và cách mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) một khoảng không quá 3 đơn vị thì điểm \(N\)nằm trên mặt trụ có bán kính \({r_1} = 1\), chiều cao trụ không quá 3. Khi đó \(MN\)nhỏ nhất khi \(MN = I{I_1} – R – {r_1} = 5 – 3 – 1 = 1.\)

Khi đó \(MN\)lớn nhất khi \(MN = \sqrt {{{\left( {MN’} \right)}^2} + {{\left( {NN’} \right)}^2}} = \sqrt {{9^2} + {3^2}} = 3\sqrt {10} .\)

Tổng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(MN = 3\sqrt {10} + 1.\)