A. \(\sqrt {15} \).
B. \(8\sqrt 3 \).
C. \(9\).
D. \(8\).
Lời giải:
Cách 1 : Giả sử \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\) lần lượt tại \(A,B\).
Gọi \(IJ \cap \left( P \right) = \left\{ M \right\}\). Do \(\frac{{IA}}{{JB}} = \frac{{MI}}{{MJ}} = 2\) nên \(J\) là trung điểm của \(IM\). Suy ra \(M\left( {2;1;9} \right)\).
Gọi \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Ta có \(\left( P \right):a\left( {x – 2} \right) + b\left( {y – 1} \right) + c\left( {z – 9} \right) = 0\).
Và \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {I;\left( P \right)} \right) = {R_1}\\d\left( {J;\left( P \right)} \right) = {R_2}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 3{c^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{c}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{c}} \right)^2} = 3{\rm{ }}\left( 1 \right)\).
Ta có \(d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2a + b + 9c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {2a + b + 9c} \right|}}{{2\left| c \right|}} = \frac{1}{2}\left| {\frac{{2a}}{c} + \frac{b}{c} + 9} \right|\).
Đặt \(t = \frac{{2a}}{c} + \frac{b}{c} \Leftrightarrow \frac{b}{c} = t – \frac{{2a}}{c}\). Ta có \(d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \frac{1}{2}\left| {t + 9} \right|\).
Thay \(\frac{b}{c} = t – \frac{{2a}}{c}\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được \({\left( {\frac{a}{c}} \right)^2} + {\left( {t – \frac{{2a}}{c}} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow 5{\left( {\frac{a}{c}} \right)^2} – 4\frac{a}{c}t + {t^2} – 3 = 0\).
Trả lời