[4] Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 4 = 0\) và hai điểm \(A\left( {4;2;4} \right),\,\,B\left( {1;4;2} \right)\). \(MN\) là dây cung của mặt cầu thỏa mãn \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng với \(\vec u = \left( {0;1;1} \right)\) và \(MN = 4\sqrt 2 \). Tính giá trị lớn nhất của \(\left| {AM – BN} \right|\).

A. \(2\sqrt 5 \).

B. \(4\sqrt 2 \).

C. \(\sqrt 7 \).

D. 7.

Lời giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;0} \right)\), bán kính \(R = 3\).

Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {3;0;4} \right) \Rightarrow IA = 5\), \(\overrightarrow {IB} = \left( {0;2;2} \right) \Rightarrow IB = 2\sqrt 2 \) nên điểm \(A\left( {4;2;4} \right)\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\) và điểm \(B\left( {1;4;2} \right)\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).

Do \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng với \(\vec u = \left( {0;1;1} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;k;k} \right),\,k > 0\) do \(MN = 4\sqrt 2 \) suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;4;4} \right)\).

Gọi \(A’ = {T_{\overrightarrow {MN} }}(A)\), suy ra \(A’\left( {4;6;8} \right)\). Khi đó \(AMNA’\) là hình bình hành nên \(AM = A’N\)

Ta có \(\left| {AM – BN} \right| = \left| {A’N – BN} \right| \le A’B\), dấu bằng xảy ra khi \(A’,\,\,N,\,\,B\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \)\(N\) là giao điểm của mặt cầu với đường thẳng \(A’B\). (Điểm \(N\) luôn tồn tại).

\(\overrightarrow {A’B} = \left( { – 3; – 2; – 6} \right)\) suy ra \(A’B = \sqrt {{{( – 3)}^2} + {{( – 2)}^2} + {{( – 6)}^2}} = 7\). Vậy \({\left| {AM – BN} \right|_{\min }} = A’B = 7\).