4] Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2\,;\,0\,;\,3} \right),\,I\left( {1\,;\,2\,;\, – 4} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x – y + 2z – 10 = 0\). Điểm \(M\) di động sao cho độ dài \(MI = 5\) và \(N\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho diện tích tam giác \(AIN\) bằng \(18\sqrt 2 \). Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng \(MN\) nằm trong khoảng nào?

A. \(\left( {12\,;\,13} \right)\).

B.\(\left( {13\,;\,14} \right)\).

C. \(\left( {19\,;\,20} \right)\).

D. \(\left( {11\,;\,12} \right)\).

Lời giải:

Ta có \(MI = 5\) nên \(M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\), bán kính \(R = 5\).

\(d\left( {I\,,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 – 1.2 + 2.\left( { – 4} \right) – 10} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 6 > R\).

Ta thấy \(A \in (P)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2\,;\, – 1\,;\,2} \right)\) và \(\overrightarrow {IA} = \left( {1\,;\, – 2\,;\,7} \right)\).

\(IA = \sqrt {{{\left( {2 – 1} \right)}^2} + {{\left( {0 – 2} \right)}^2} + {{\left( {3 + 4} \right)}^2}} = 3\sqrt 6 \).\(\sin \alpha = \sin \left( {IA\;,\;\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {IA} \,,\,\overrightarrow {{n_P}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {{n_P}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {IA} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 1.2 + 2.7} \right|}}{{3\sqrt 6 .3}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Diện tích \(\Delta IAN\):

\({S_{\Delta IAN}} = \frac{1}{2}.IA.AN.\sin \left( {\widehat {IAN}} \right) = 18\sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}.3\sqrt 6 .AN.\sin \left( {\widehat {IAN}} \right) = 18\sqrt 2 \Rightarrow AN.\sin \left( {\widehat {IAN}} \right) = 4\sqrt 3 \).

\(\sin \alpha \le \sin \left( {\widehat {IAN}} \right) \le \sin 90^\circ = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AN.\sin \left( {\widehat {IAN}} \right) \ge AN.\sin \alpha \\AN.\sin \left( {\widehat {IAN}} \right) \le AN\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AN \le \frac{{4\sqrt 3 }}{{\sin \alpha }} = 6\sqrt 2 \\AN \ge 4\sqrt 3 \end{array} \right.\).

Gọi \(H\) là điểm hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Gọi d là đường thẳng qua \(I\left( {1;2; – 4} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên d có VTCP \(\overrightarrow u = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {2\,;\, – 1\,;\,2} \right)\).

\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 – t\\z = – 4 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\), \(H \in d \Rightarrow H\left( {1 + 2t\,;\,2 – t\,;\, – 4 + 2t} \right)\).

Mà \(H \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {1 + 2t} \right) – \left( {2 – t} \right) + 2\left( { – 4 + 2t} \right) – 10 = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow H\left( {5\,;\,0\,;\,0} \right)\).

Ta có \(AH = \sqrt {{{\left( {5 – 2} \right)}^2} + {3^2}} = 3\sqrt 2 \) và \(IH = d\left( {I\,;\,\left( P \right)} \right) = 6\).

Xét \(\Delta HAN\) có \(HN \le HA + AN \le 3\sqrt 2 + 6\sqrt 2 = 9\sqrt 2 \). Dấu xảy ra khi \(H,\,A,\,N\) thẳng hàng và \(A\) nằm giữa \(H\) và \(N\) \(\left( 1 \right)\).

Xét \(\Delta IHN\) vuông tại \(H\) có \(IN = \sqrt {I{H^2} + H{N^2}} \le \sqrt {{6^2} + {{\left( {9\sqrt 2 } \right)}^2}} = 3\sqrt {22} \).

Xét \(\Delta MIN\) có \(MN \le MI + IN = R + IN = 5 + 3\sqrt {22} \). Dấu xảy ra khi \(M,\;I,\;N\) thẳng hàng và \(I\) nằm giữa \(M\) và \(N\) \((2)\). Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(M,\,N \in \left( {IHA} \right)\).

Vậy giá trị lớn nhất của đoạn \(MN = 5 + 3\sqrt {22} \simeq 19,07\).