[4] Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {0;1;2} \right)\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(x + y – z + 4 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 25\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A,\) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) và đồng thời \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Diện tích của hình tròn giao tuyến khi đó là

[4] Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {0;1;2} \right)\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(x + y – z + 4 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 25\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A,\) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) và đồng thời \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Diện tích của hình tròn giao tuyến khi đó là

A. \(S = 6\pi \).

B. \(S = 19\pi \).

C. \(S = \frac{9}{2}\pi \).

D. \(S = 25\pi \).

Lời giải:

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + t\\z = 2 – t\end{array} \right.\).

Gọi \(d \cap \left( \alpha \right) = M\left( {t;\,1 + t;\,2 – t} \right)\)

\(M \in \left( \alpha \right) \Rightarrow t + 1 + t – \left( {2 – t} \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow t = – 1 \Rightarrow M\left( { – 1;\,0;\,3} \right)\).

Gọi phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \(ax + by + cz + d = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0} \right)\).

Do \(A,\,M \in \,\left( P \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + 2c + d = 0\\ – a + 3c + d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = a – 3c\\b = – a + c\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( P \right):\,ax + \left( { – a + c} \right)y + cz + a – 3c = 0\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;\,1;\,2} \right),\,\,R = 5\), khi đó

\(d\left( {I;\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3a – a + c + 2c + a – 3c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { – a + c} \right)}^2} + {c^2}} }} = \frac{{3\left| a \right|}}{{\sqrt {2{a^2} + 2{c^2} – 2ac} }} = k\,\,\left( {0 \le k < 5} \right)\).

Theo bài, \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất \( \Rightarrow k\) lớn nhất.

TH1: \(c = 0 \Rightarrow a \ne 0\)\( \Rightarrow k = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} < 5\).

TH2: \(c \ne 0 \Rightarrow 3\left| a \right| = k\sqrt {2{a^2} + 2{c^2} – 2ac} \Leftrightarrow \left( {2{k^2} – 9} \right){a^2} – 2{k^2}ac + 2{k^2}{c^2} = 0\)

Ta có \(\Delta ‘ = – 3{k^4}{c^2} + 18{k^2}{c^2} \ge 0 \Rightarrow 3{k^2}{c^2}\left( {6 – {k^2}} \right) \ge 0 \Rightarrow {k^2} \le 6 \Rightarrow k \le \sqrt 6 < 5\).

Do đó \({k_{\max }} = \sqrt 6 \), khi đó bán kính đường tròn giao tuyến \(r = \sqrt {{5^2} – {{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}} = \sqrt {19} \Rightarrow S = 19\pi \).

===========

Tương tự Câu 50 CỰC TRỊ HÌNH HỌC OXYZ – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024