A.\(\sqrt 7 \).
B. \(\sqrt 6 \).
C. \(2\sqrt 2 \).
D. \(\sqrt 3 \).
Lời giải:
Từ phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 8\), suy ra mặt cầu có tâm \(I\left( {0;0;3} \right)\) và bán kính \(R = 2\sqrt 2 \).
Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thuộc \(\left( S \right)\) sao cho \(MA = 2MB\). Theo giả thiết, ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( S \right)\\MA = 2MB\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 8\\{\left( {x – 4} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 4\left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2} + {{\left( {z – 1} \right)}^2}} \right]\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 8\\{x^2} + {y^2} + {z^2} – \frac{{2z}}{3} – \frac{{29}}{3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 8\\z – 2 = 0\end{array} \right.\).
Khoảng cách từ tâm \(I\left( {0;0;3} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,z – 2 = 0\) là:
\(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3 – 2} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 1 < R\).
Do đó đường tròn \(\left( C \right)\) là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \({R_{\left( C \right)}} = \sqrt {{R^2} – {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right)} = \sqrt {8 – 1} = \sqrt 7 \).
=========== Tương tự Câu 50 CỰC TRỊ HÌNH HỌC OXYZ – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024
Trả lời