[4] Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = 25\) và điểm \(A\left( {0\,;\,1\,;\,9} \right)\). Gọi đường tròn \(\left( C \right)\) là giao tuyến của mặt cầu \(\left( S \right)\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right).\) Lấy hai điểm \(M,\,N\) trên \(\left( C \right)\) sao cho \(MN = 2\sqrt 5 \). Khi tứ diện \(OAMN\) có thể tích lớn nhất thì đường thẳng \(MN\) đi qua điểm nào trong các điểm sau?

A. \(\left( {5;\;5;\;0} \right)\).

B. \(\left( {6;\;4;\;0} \right)\).

C.\(\left( {4;\;6;\;0} \right)\).

D. \(\left( {3;\;4;\;0} \right)\).

Lời giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3\,;\,4\,;\,4} \right)\) và bán kính \(R = 5.\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Ta có \(H\left( {3\,;\,4\,;\,0} \right)\) và \(IH = 4\).

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm là \(H\left( {3\,;\,4\,;\,0} \right)\) và bán kính \(r = \sqrt {{R^2} – I{H^2}} = \sqrt {25 – 16} = 3.\)

Xét đường tròn \(\left( C \right)\), gọi \(E\) là trung điểm của \(MN\). Ta có

\(ME = EN = \frac{{MN}}{2} = \sqrt 5 \)

\(HE \bot MN\)

\(HE = \sqrt {{r^2} – M{E^2}} = 2\)

Vì \(OH = \sqrt {{3^2} + {4^2} + {0^2}} = 5 > r\) nên \(O\) nằm ngoài \(\left( C \right).\)

Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(MN.\)

Ta có \({V_{OAMN}} = \frac{1}{3}d\left( {A;\left( {Oxy} \right)} \right).{S_{\Delta OMN}} = \frac{1}{3}.9.\frac{1}{2}OK.MN\)\( = 3\sqrt 5 .OK\)

Vì \(OK \le OE \le OH + HE = 7\) nên \({V_{OAMN}} \le 21\sqrt 5 \)

Đẳng thức xảy ra khi \(K \equiv E\) và \(H\) thuộc đoạn thẳng \(OE\).

Khi đó \(\overrightarrow {OE} = \frac{7}{5}\overrightarrow {OH} \Rightarrow E\left( {\frac{{21}}{5}\,;\,\frac{{28}}{5}\,;\,0} \right).\)

\(MN\) đi qua điểm \(E\left( {\frac{{21}}{5}\,;\,\frac{{28}}{5}\,;\,0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow k ;\,\overrightarrow {OH} } \right] = \left( { – 4\,;\,3;\,0} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.

Do đó \(MN\) có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{21}}{5} – 4t\\y = \frac{{28}}{5} + 3t\\z = 0\end{array} \right.\).

Vậy \(MN\) đi qua điểm \(\left( {5\,;\,5\,;\,0} \right).\)