(THPT Đô Lương – Nghệ An – 2022) Trong không gian \(Oxyz\) cho đường tròn \((C)\) là giao tuyến của mặt phẳng tọa độ \((xOy)\) với mặt cầu \((S):{(x – 6)^2} + {(y – 6)^2} + {(z + 3)^2} = 41\). Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua các điểm \(A(0;0;12),B(0;4;8)\). Với \(M,N\) là các điểm thay đổi thứ tự trên \((C)\) và \(d\). Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn \(MN\) gần với giá trị nào nhất sau đây?

(Cụm Trường Nghệ An – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(1;0;0)\), \(B(0; – 2;3)\), \(C(1;1;1)\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa \(A\), \(B\) sao cho khoảng cách từ \(C\) đến \((P)\) bằng \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\). Tìm tọa độ giao điểm \(M\) của \((P)\) và trục \(Oy\).

(Sở Hà Tĩnh 2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 4y – 2z = 0\) và điểm \(M(0;1;0)\). Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M\) và cắt \((S)\) theo đường tròn \((C)\) có chu vi nhỏ nhất. Gọi \(N\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là điểm thuộc đường tròn \((C)\) sao cho \(ON = \sqrt 6 \). Tính \({y_0}\).

(Sở Hà Tĩnh 2022) Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {2; – 3; – 5} \right),I\left( {2;0; – 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x – y – 2z + 5 = 0.\) Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(IM = 5\) và độ dài đoạn \(AM\) lớn nhất. Khi đó giá trị của biểu thức \(T = a + b + 2c\) bằng

(Chuyên Lam Sơn 2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho điểm \(I(1;0;0)\), điểm \(M\left( {\frac{7}{9};\frac{4}{9};\frac{4}{9}} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = t}\\{z = 1 + t}\end{array}.N(a,b,c)} \right.\) là điểm thuộc đường thẳng \(d\) sao cho diện tích tam giác \(IMN\) nhỏ nhất. Khi đó \(a + b + c\) có giá trị bằng:

(THPT Lương Tài 2 – Bắc Ninh – 2022) Trong không gian với hệ tọa độ\(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2;\,4;\, – 2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\left( {{m^2} + 1} \right)x + \left( {{m^2} – 1} \right)x + 2m{\rm{z}} + 4 = 0\). Biết rằng,khi tham số \(m\)thay đổi thì mặt phẳng \(\left( P \right)\) luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định cùng đi qua \(A\) là \(\left( {{S_1}} \right)\)và \(\left( {{S_2}} \right)\). Gọi \(M\)và \(N\)lần lượt nằm trên \(\left( {{S_1}} \right)\)và \(\left( {{S_2}} \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của \(MN\)?

(Sở Bạc Liêu 2022) Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\;{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 9\) và điểm \(M\left( {1;3; – 1} \right)\), biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ \(M\) tới các mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(J\left( {a;b;c} \right)\). Giá trị \(T = 2a + b + c\) bằng

(Chuyên Hoàng Văn Thụ – Hòa Bình – 2022) Trong không gian \(Oxyz\) cho hai điểm \(A(4;6;2),B(2; – 2;0)\) và mặt phẳng \((P):x + y + z = 0\). Xét đường thẳng \(d\) thay đổi thuộc \((P)\) và đi qua \(B\), gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(d\). Biết rằng khi \(d\) thay đổi thì \(H\) thuộc một đường tròn cố định. Diện tích của hình tròn đó bằng

(Nho Quan A – Ninh Bình – 2022) Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), xét ba điểm \(A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\) thỏa mãn \(\frac{1}{a} – \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1\). Biết rằng mặt cầu \((S):{(x – 2)^2} + {(y – 1)^2} + {(z – 3)^2} = 25\) cắt mặt phẳng \((ABC)\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính là 4. Giá trị của biểu thức \(a + b + c\) là

(Liên trường Hà Tĩnh-2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho \(A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\) với \(a,b,c > 0\) sao cho \(2OA – OB + OC + 5\sqrt {O{B^2} + O{C^2}} = 36\). Tính \(a – b + c\) khi thể tích khối chóp O. \(ABC\) đạt giá trị lớn nhất