(Sở Hà Tĩnh 2022) Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {2; – 3; – 5} \right),I\left( {2;0; – 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x – y – 2z + 5 = 0.\) Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(IM = 5\) và độ dài đoạn \(AM\) lớn nhất. Khi đó giá trị của biểu thức \(T = a + b + 2c\) bằng
A. \( – 1\).
B. \(11\).
C. \(6\).
D. \( – \frac{1}{3}\).
Lời giải:
Chọn B
⬥ Có \(M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) (tâm \(I\), bán kính \(R = 5\)).
Do \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {4 – 0 + 2 + 5} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = \frac{{11}}{3} < 5\) nên \(\left( S \right)\) cắt \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(M \in \left( {{C_1}} \right)\).
⬥ Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng qua \(A\) và song song với \(\left( P \right)\), có \(\left( Q \right):2x – y – 2z – 17 = 0\) và \(d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {4 – 0 + 2 – 17} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = \frac{{11}}{3}.\) Suy ra \(\left( S \right)\) cắt \(\left( Q \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) và \(A \in \left( {{C_2}} \right)\) (do \(IA = 5\) nên \(A \in \left( S \right)\))
⬥ Do \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right)\) nên \(\left( {{C_1}} \right)\) bằng \(\left( {{C_2}} \right)\) và \(A,M\) lần lượt thuộc hai đường tròn đáy của hình trụ. Do đó \(AM\) lớn nhất khi \(M\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(I\), suy ra \(M\left( {2;3;3} \right)\) và \(T = 2 + 3 + 2.3 = 11.\)
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC
Trả lời